Доказать, что произведение не является квадратом

[Xenia1996]

Доказать, что произведение всех натуральных чисел в интервале сегменте $[2^{1948}+1, 2^{2011}-1]$ не есть точный квадрат.

(Попытка)

Есть такая теоремка (уже забыла, как её величать), что между n и 2n всегда найдётся простое число. Значит, найдётся простое число и между $2^{2010}$ и $2^{2011}$ (назовём его p). Оно не будет равно $2^{2011}$ (само собой), а значит, наше произведение будет делиться на p, но не будет делиться на $p^2$. Итак, наше произведение - не квадрат.

Это решение мне не засчитали. То ли потому, что забыла, как называется теорема, то ли потому, что не смогла её доказать.

Можно ли решить без этой теоремы? И как?

[ИСН]

Утверждение называется "Постулат Бертрана". Не засчитали, потому что уроды сами до такого не допёрли. Это-то ясно. Авторское решение, очевидно, включает кропотливый подсчёт степеней двойки (их там нечётно).
И уж обобщать так обобщать - бывает ли вообще, чтобы точный квадрат представлялся в виде произведения нескольких (более одного) последовательных натуральных чисел?

[nnosipov]

Xenia1996 в сообщении #456671 писал(а):

Доказать, что произведение всех натуральных чисел в интервале сегменте $[2^{1948}+1, 2^{2011}-1]$ не есть точный квадрат.

XIII Турнир городов, сезон 1991/1992. По поводу обобщения ИСН см. http://projecteuclid.org/DPubS?service= ... 1256050816

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #456683 писал(а):

По поводу обобщения ИСН см. http://projecteuclid.org/DPubS?service= ... 1256050816

Прочла. Ах Удивилась. Задача сочетает в себе простоту формулировки с удивительной трудностью решения.