Пусть

вещественные положительные числа и

.
Доказать что ,

То есть, надо доказать два неравенства:

и

,
каждое из которых следует из AM-GM.
Пусть

,

,

и

, где

,

,

и

положительны.
Докажем, что

, из чего будет следовать первое неравенство.
Попытаемся найти неотрицательные числа

,

,

и

такие, что

, для которых

.
Согласно AM-GM

.
Из равенства

получаем

,

,

и

.
Подставляя полученные зиачения

,

,

и

в неравенство двумя строчками выше, получаем:

Таким образом,

, что даёт

, а значит и

.
(Понятно, что неравенство

видно непосредственно, но метод, которым оно получено довольно полезный.
К примеру, в неравенстве

для неотрицательных

,

и

догадаться до соответствующих коэффициентов уже не так просто. Кстати, это последнее неравенство можно докзать и многими другими способами также как и

).
Для доказательства второго неравенства снова применяем AM-GM:

.
Здесь, как обычно:

и

.
То есть, неравенство доказано.
Вообще, можно было бы остановиться и на следующем заклинании: Мюрхед.