Неравенство и сумма

[myra_panama]

Пусть $ x_1,x_2,x_3,x_4$ вещественные положительные числа и $x_1x_2x_3x_4=1$.
Доказать что ,
$\sum\limits_{i=1}^{4}x_{i}^3\ge \max{(\sum\limits_{i=1}^{4}x_{i},\sum\limits_{i=1}^{4}\frac1{x_{i}})}$

[arqady]

myra_panama в сообщении #456476 писал(а):

Пусть $ x_1,x_2,x_3,x_4$ вещественные положительные числа и $x_1x_2x_3x_4=1$.
Доказать что ,
$\sum\limits_{i=1}^{4}x_{i}^3\ge \max{(\sum\limits_{i=1}^{4}x_{i},\sum\limits_{i=1}^{4}\frac1{x_{i}})}$

То есть, надо доказать два неравенства: $\sum\limits_{i=1}^{4}x_{i}^3\ge \sum\limits_{i=1}^{4}x_{i}$ и $\sum\limits_{i=1}^{4}x_{i}^3\ge \sum\limits_{i=1}^{4}\frac1{x_{i}}$,
каждое из которых следует из AM-GM.
Пусть $x_1=a^2$, $x_2=b^2$, $x_3=c^2$ и $x_4=d^2$, где $a$, $b$, $c$ и $d$ положительны.
Докажем, что $a^6+b^6+c^6+d^6\geq abcd(a^2+b^2+c^2+d^2)$, из чего будет следовать первое неравенство.
Попытаемся найти неотрицательные числа $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и $\delta$ такие, что $\alpha+\beta+\gamma+\delta=1$, для которых
$\alpha a^6+\beta b^6+\gamma c^6+\delta d^6\geq a^3bcd$.
Согласно AM-GM $\alpha a^6+\beta b^6+\gamma c^6+\delta d^6\geq a^{6\alpha}b^{6\beta}c^{6\gamma}d^{6\delta}$.
Из равенства $a^{6\alpha}b^{6\beta}c^{6\gamma}d^{6\delta}=a^3bcd$ получаем $\alpha=\frac{1}{2}$, $\beta=\frac{1}{6}$, $\gamma=\frac{1}{6}$ и $\delta=\frac{1}{6}$.
Подставляя полученные зиачения $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и $\delta$ в неравенство двумя строчками выше, получаем:
$3a^6+b^6+c^6+d^6\geq6a^3bcd$
Таким образом, $\sum\limits_{cyc}(3a^6+b^6+c^6+d^6)\geq6\sum\limits_{cyc}a^3bcd$, что даёт $a^6+b^6+c^6+d^6\geq abcd(a^2+b^2+c^2+d^2)$, а значит и $\sum\limits_{i=1}^{4}x_{i}^3\ge \sum\limits_{i=1}^{4}x_{i}$.
(Понятно, что неравенство $3a^6+b^6+c^6+d^6\geq6a^3bcd$ видно непосредственно, но метод, которым оно получено довольно полезный.
К примеру, в неравенстве $a^4b+b^4c+c^4a\geq(a^2+b^2+c^2)abc$ для неотрицательных $a$, $b$ и $c$ догадаться до соответствующих коэффициентов уже не так просто. Кстати, это последнее неравенство можно докзать и многими другими способами также как и $a^6+b^6+c^6+d^6\geq abcd(a^2+b^2+c^2+d^2)$).
Для доказательства второго неравенства снова применяем AM-GM:
$3\sum\limits_{i=1}^{4}x_{i}^3=\sum\limits_{i=1}^{4}\left(x_{i}^3+x_{i+1}^3+x_{i+2}^3\right)\geq3\sum\limits_{i=1}^{4}x_ix_{i+1}x_{i+2}=3\sum\limits_{i=1}^{4}\frac1{x_{i}}$.
Здесь, как обычно: $x_5=x_1$ и $x_6=x_2$.
То есть, неравенство доказано.
Вообще, можно было бы остановиться и на следующем заклинании: Мюрхед.