Число из суммы корней

[polyedr]

Привет всем!
Есть вот такое число $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7}$.
Как узнать, трансцендентное оно или алгебраическое?

[ИСН]

Оно сумма алгебраических, а следовательно - и само алгебраическое.

[polyedr]

А как узнать-то!? Или есть такая специальная теорема?

[TOTAL]

polyedr в сообщении #456017 писал(а):

А как узнать-то!? Или есть такая специальная теорема?

Возведите это число в первую степень, во вторую, третью, т.д. Какой вид имеют эти степени?

[PAV]

Алгебраические числа образуют поле

[polyedr]

Полином Ньютона типа, но опять же с радикалами!

-- Чт июн 09, 2011 13:11:17 --

А нужно, чтобы были все рациональными числами, если я правильно понял.

[TOTAL]

polyedr в сообщении #456028 писал(а):

А нужно, чтобы были все рациональными числами, если я правильно понял.

Что такое алгебраическое число?

[gris]

Интересно попробовать самому сконструировать многочлен, корнем которого является данное число. Например, для трёх корней:
$x=\sqrt 2+ \sqrt 3+\sqrt 4$ Будем всегда при возможности выносить из-под корня квадраты. А целые числа перенсить влево.

$x=\sqrt 2+ \sqrt 3+2$

$x-2=\sqrt 2+ \sqrt 3$

$(x-2)^2=(\sqrt 2+ \sqrt 3)^2=2+3+2 \sqrt 6$

$(x-2)^2-5=2 \sqrt 6$

$((x-2)^2-5)^2=4\cdot 6$

$((x-2)^2-5)^2-24=0$

Осталось раскрыть скобки и привести подобные.
Наше число будет даже целым алгебраическим.

[polyedr]

С тремя я уже пятсот раз конструировал, там вроде все понятно, а вот с четырьмя или больше(можно, но только для частных случаев, наверное - это если обобщать по Вашей конструкции!)

-- Чт июн 09, 2011 13:23:22 --

Алгебраическое число, на сколько я знаю, должно быть конем многочлена степени больше 1 с рациональными коеф-ми.

[TOTAL]

polyedr в сообщении #456033 писал(а):

Алгебраическое число, на сколько я знаю, должно быть конем многочлена степени больше 1 с рациональными коеф-ми.

Теперь число, про которое спрашивали (равное сумме нескольких корней), возведите в степень $k.$ Какой вид будет иметь эта степень? Будут там слагаемые вида $\sqrt{26}?$ А какого вида будут (могут быть)?

[polyedr]

Скорее всего $\sqrt{26}$ там не будет - 26 = 2х13, а 13 нет среди слагаемых

[ИСН]

Мне больше нравится явное конструирование полинома. А то ведь бывают такие алгебраические, которые и корнями-то не выразишь.

[polyedr]

Наверное что-то вот такое $\sqrt{2^{i_1}3^{i_2}...7^{i_6}}$

[gris]

Ну например с тремя корнями из взаимо простых чисел. Будем возводить в квадрат и следить за корнями в левой части.

$x=\sqrt 2+ \sqrt 3 + \sqrt 5$

$\dfrac {x^2-10}{2}=\sqrt {6}+ \sqrt {10}+ \sqrt {15}$

$(\dfrac {x^2-10}{2})^2=31+2\sqrt {60}+ 2\sqrt {90}+ 2\sqrt {150}$

$\dfrac{(\dfrac {x^2-10}{2})^2-31}{2}=2\sqrt {15}+ 3\sqrt {10}+ 5\sqrt {6}$

Мы видим те же самые корни, что две срочки назад. Избавимся же от $\sqrt{15}$. Умножим предпредпоследнее уравнение на 2 и вычтем его из последнего:

$\dfrac{(\dfrac {x^2-10}{2})^2-31}{2}-2(\dfrac {x^2-10}{2})=\sqrt {10}+ 3\sqrt {6}$

Уже легче. Осталось только два корня.

$(\dfrac{(\dfrac {x^2-10}{2})^2-31}{2}-2(\dfrac {x^2-10}{2}))^2- 64=12\sqrt {15}$

$((\dfrac{(\dfrac {x^2-10}{2})^2-31}{2}-2(\dfrac {x^2-10}{2}))^2- 64)^2=2160$

$\left(\left(\dfrac{\left(\dfrac {x^2-10}{2}\right)^2-31}{2}-2\left(\dfrac {x^2-10}{2}\right)\right)^2- 64\right)^2-2160=0$

Всё это я проделал ради валидатора формул. Его помощь при расстановке скобок была весьма кстати. Может быть я ошибся в коэффициентах, но не в скобках!
Слава модераторам и админам! Слава участникам, имеющим 6797 сообщений! Ура!

[ИСН]

polyedr, насчёт общего вида:
Мыслимо ли как-то упростить выражение вида $\sqrt{2^53^7}$?