Решение интегралов при помощи формулы Стирлинга

[sssrdivinity]

Есть два следующих интеграла (взяты из Демидовича, номера 3116, 3117)
Требуется приближенно их вычислить, применив формулу Стирлинга:
1. $\int\limits_0^{1}{(1-x^2)^{50} dx}$

2. $\int\limits_0^{2\pi}{\sin^{200} x dx}$

Напомню вид самой формулы:
${n!}=\sqrt{2\pi n } n^ne^{-n+ Q_n/{12n} }$, $(0<Q_n<1)$

Я предполагаю, что здесь надо каким-то хитрым образом проинтегрировать по частям
Сам пробовал разложить в ряд степени, но особо хорошего не вышло

Вот какие должны быть ответы:
1.$0.124(1+Q/300)$, (|Q|<1)
2.$0.355(1+Q/600)$, (|Q|<1)

[ИСН]

Почему Вы не акцентируете на необходимости сделать некое умственное усилие, чтобы как-то увязать сии интегралы с факториалами (без чего к ним нельзя применить означенную формулу) - это слишком просто или слишком сложно?

-- Пн, 2011-06-06, 13:37 --

Ключевое слово - "бета-функция".

[sssrdivinity]

Ну для меня это не выглядит явным. Считаете, что нужно пробовать подгонять интеграл под бета-гамма функции?

[ИСН]

Конечно. Бета. Это уже почти в чистом виде она и есть.

[sssrdivinity]

Спасибо, почти разобрался. Вот посмотрите, что получилось в первом:

Как видите, немного не совпадает с ответом. Никак не могу найти, в чем ошибка...

[ИСН]

Ну очевидно же, что расхождение с ответом ровно в два раза. Это нам кагбе намекает.

[sssrdivinity]

Намекает, но найти пока не могу
Если заметите где - будет супер. Если у меня выйдет быстрее - отпишусь, где было не так...
Там же еще Q/300 не равно Q/400 , тут-то никак двойка не могла повлиять

[ИСН]

Если Вы перепишете все формулы в принятом здесь виде, уж так и быть, я попытаюсь заметить.
Да, и зачем эта нелепая тригонометрическая замена?

[sssrdivinity]

Хорошо, если будет совсем плохо выискиваться - перепишу... А как можно было без замены обойтись? Под вид бета-функции у меня только так пошло...
Может быть, тогда я второй быстрее решу, если подскажите, как Вы видите первый шаг

[ИСН]

В моём мире бета-функция определялась как-то без посредства тригонометрии. Вот я бы и приводил к тому виду, что в определении. Так же проще. Неужели для этого обязательно вводить тригонометрию, а потом выводить?

[sssrdivinity]

Хорошо, в общем-то можно привести и к тому виду, что дано по определению. А вот во втором уже, мне кажется, так не выйдет, я не вижу нужной замены. Сейчас хочу попробовать x=4t, пересчитать пределы интегрирования и опять же подгонять под тригонометрическую формулу бета-функции

[ИСН]

А во втором это и есть в чистом виде тригонометрическая формула для бета-функции, зачем ещё что-то подгонять?

[sssrdivinity]

Формула имеет вид

Следовательно, нужно иметь другие пределы интегрирования

[ИСН]

А если бы там было от нуля до двухсот пи, то Вы бы подошли с заменой x=400t?

[sssrdivinity]

Ну а как тут еще... Синус - периодичная функция. Соответственно, может быть, ее достаточно рассмотреть на промежутке $[0;\pi/2]$. Выйдет, что у нас будет просто 4 интеграла на этом промежутке, так же?