Производная неявной функции

[untoter]

Здравствуйте, помогите пожалуйста решить такую вещь:
неявные функции $u(x,y)$ и $v(x,y)$ заданы системой уравнений $u+v=x+y$, $y\sin(u)-x\sin(v)=0$, найти $\frac{{\partial^2}u}{\partial x^2}}$, $\frac{{\partial^2}v}{\partial y^2}}$

[Padawan]

Сначала первые найдите, дифференцируя уравнения системы по $x$, $y$ и считая $u=u(x,y), v=v(x,y)$.

[Someone]

Дифференцируете заданные уравнения по $x$, не забывая о правилах дифференцирования сложной функции, и из полученной системы уравнений находите $\frac{\partial u}{\partial x}$ и $\frac{\partial v}{\partial x}$. Затем дифференцированием полученного выражения по $x$ находите $\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$. Аналогично находите $\frac{\partial^2v}{\partial y^2}$.

[untoter]

Спасибо, но можно ли немного поподробнее или пример какой-нибудь.

[Алексей К.]

Да чё пример придумывать, когда Ваш имеется?
А поподробнее с тоже можно, с Вашей помощью.
Дифференцируйте оба уравнения, пишите результат, потом поедем дальше.
Даже напишу Вам результат дифференцирования первого уравнения по иксу:
$u'_x+v'_x=1+0$. Второе, посложнее, за Вами.
Пишется просто: u'_x, u''_{xx}.

[untoter]

Если я все правильно понял, то получится $ ycos(u')-xcos(v')-sin(v)=0 $.

[ИСН]

Ещё раз, медленно: чему равна производная от $\cos u$ по x?

[untoter]

0

[ИСН]

так, ну а если притом u - функция от x?

[untoter]

-sin(u)

[ИСН]

допустим. а если u - какая-то другая функция от x, то что? То же самое? Как же так?

[untoter]

Не учел, что u тоже функция, т.е. получится $yu'cos(u')$, для v соответсвенно также. Это верно?

[ИСН]

Почти. Есть одна деталь насчёт производной от сложной функции, сейчас подумаю, как бы намекнуть.

-- Вт, 2011-06-07, 11:16 --

Значит, ещё раз: отставим пока в сторону Вашу задачу, скажите, чему равна производная от $\cos u$ по x? Вот так? точно? а если подставить туда какую-нибудь нехитрую функцию для пробы?

[untoter]

Производная внутренней на производную внешней(умножить), т.е. $-u'sin(u)$....

[ИСН]

А, ну наконец-то. Теперь это приложите к своей задаче, и всё будет хорошо.