проверить на сходимость два ряда

[tavrik]

A) $\sum{(\sqrt[n]{n}-1)^n}$

B) $\sum\limits_{n=2}^\infty{\frac{(-1)^n}{\ln{n}}(\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+...+\frac{n}{2^n}})$

А) признак Коши напрашивается.
вроде там иногда с одной стороны предела достаточно проверить(для расхождения ряда)?
Б) нет идей.

[Sonic86]

А) Ну раз напрашивается - делайте!
В) Оцените скобку сверху. Затем представьте ряд в виде суммы двух: скобку разбейте на сумму и остаток.

[AKM]

$\sum_{n=2}^\infty$ . Для неленивых: $\sum\limits_{n=2}^\infty$

[tavrik]

$\sqrt[n]{n}$ стремится к единице сверху.
значит, признак Коши стремится даже не к 1 а к 0
и значит, ряд А сходится

?

[mihailm]

Признак Лейбница то чем не подходит в Б?

[tavrik]

подходит.
просто до алгебраических преобразований и правильной оценки ряда $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{k}{2^k}$ я не додум.

[Legioner93]

А) Признак Коши без всяких раздумий. Там же 0 получается (в предельном случае)! Сложности возникают, когда в пределе получается единичка.
Б) Я просто бы просто просуммировал руками $\frac{1}{2}+...+\frac{n}{2^n}$. Проще всего это сделать вот таким трюком $\frac{1}{2}+...+\frac{n}{2^n}$ = $\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \left(\frac{2}{2}+...+\frac{n}{2^{n-1}}\right)$ = $\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}+...+\frac{n-1}{2^{n-1}} + (\left \frac{1}{2}+...+\frac{1}{2^{n-1}}\right)\right)$. Дальше уж сами. Там вообще получается, что сумма меньше двух. А потом признак Лейбница.
UPD: Пока писал, уже ответили:) Стирать жалко.

[Sonic86]

tavrik писал(а):

$\sqrt[n]{n}$ стремится к единице сверху.
значит, признак Коши стремится даже не к 1 а к 0
и значит, ряд А сходится
?

Ну конечно

[ewert]

Насчёт Лейбница -- поосторожнее. Там же ещё монотонность нужна. Она, конечно, есть, но её надо доказывать.

(а вот суммировать явно скобку -- совсем ни к чему, вполне достаточно того, что соотв. ряд очевидно сходится)

[mihailm]

ewert в сообщении #453438 писал(а):

...
вполне достаточно того, что соотв. ряд очевидно сходится)

Ну да, по тому же признаку например Коши))

[ShMaxG]

Какое еще признак Коши, люди?

$\[{\left( {\sqrt[n]{n} - 1} \right)^n} \leqslant \frac{1} {{{2^n}}}\]$.

[mihailm]

ShMaxG в сообщении #453490 писал(а):

Какое еще признак Коши, люди?
...

(Оффтоп)

Люди и так видят что все очевидно),
а студенту надо объяснить
без кроликов из шляпы

[ShMaxG]

(Оффтоп)

Причем тут какие-то кролики из шляпы. Эта тема стоит до признака Коши, идейно проще. Признак Коши еще и знать надо...

[ewert]

Хм, насчёт монотонности. Проблема-то в чём: и числитель, и знаменатель растут, поэтому монотонность дроби, формально говоря, неочевидна.

Наверное, самый дешёвый способ доказательства такой. Пусть $s$ -- предел скобки и $r_n$ -- разность между $s$ и самой скобкой, т.е. соотв. остаток ряда. Тогда исходный ряд представляется в виде

$\sum\dfrac{(-1)^ns}{\ln n}-\sum\dfrac{(-1)^nr_n}{\ln n}.$

Ну теперь-то сходимость обоих рядов действительно очевидна.

-- Пт июн 03, 2011 15:01:38 --

mihailm в сообщении #453484 писал(а):

Ну да, по тому же признаку например Коши))

Даламбер в данном случае для глаза гораздо приятнее, а ещё приятнее просто признак сравнения.

[tavrik]

ShMaxG прав - это не кролик.
использовать признак Коши/Деламбера для положительных рядов - некорректно.
это знает даже студент :)

в данном случае ряд вроде положительный выходит.