Школьная задача по комбинаторной геометрии

[мат-ламер]

"В пространстве даны 4 точки, не лежащие в одной плоскости. Сколько можно провести плоскостей, равноудалённых от этих точек?". (Здесь видимо имелось в виду максимально возможное количество плоскостей). Эта задача 1 из сборника Ягломов "Элементарные задачи в неэлементарном изложении". В принципе я решил, но мой ответ (48) сильно много отличается от авторского решения (7). Какие будут мнения? Я сейчас подозреваю, что некоторые из полученных мной решений будут совпадать, но как-то всё равно велика разница.

[mihiv]

4 плоскости получим,если рассмотреть случаи,когда с одной стороны плоскости одна точка,а с другой три точки,еще три плоскости получаются,если взять по две точки с каждой стороны плоскости.

[мат-ламер]

Давайте уменьшим размерность на единицу. Рассмотрим задачу на плоскости о максимальном количестве прямых, равноудалённых от трёх точек, не лежащих на одной прямой. У меня получается шесть прямых. Две прямые проходят через точку, лежащую посередине между первой и второй точкой. Заметим, что все прямые, проходящие через эту точку, равноудалены от первой и второй точки. Среди этих прямых можно найти две, равноудалённые сразу от трёх точек. Циклически меняя точки, получаем ещё четыре решения. Теперь выйдем в пространство. Выберем из четырёх точек любые три. Проведём в плоскости этих точек шесть прямых, равноудалённых от них (как в предыдущем рассуждении о плоской задаче). Теперь рассмотрим множество плоскостей, проходящих через какую-нибудь прямую. Заметим, что каждая из этих плоскостей равноудалена от этих трёх точек. Среди этих плоскостей можно найти две, равноудалённых от всех четырёх точек. Всего получается 12 плоскостей (для данного выбора трёх точек). Всего имеем 4 способа выбрать три точки из четырёх. Итого, всего получается 48 плоскостей.

-- Пн май 30, 2011 21:51:32 --

А, понял. Уже на плоскости получаются три прямые, а не шесть (ввиду совпадения). То есть моё построение в принципе правильно, но в результате получаются совпадения.