Решить определенный интеграл

[Anexroid]

$$\int\limits_{-\pi/2}^{\pi} \frac {dx}{4(\sin^4x + \cos^4x) - \sin^22x}$$

При помощи преобразований знаменателя привел к виду

$$\int\limits_{-\pi/2}^{\pi} \frac {dx}{4 - 3\sin^22x}$$

Далее, при помощи замен $t = 2x$, $s = \tg \frac t 2$, получил

$$\frac 1 8 \int\limits_{-\pi/2}^{\pi} \frac {s^2 + 1}{s^4 - s^2 + 1} ds$$

А вот что дальше делать, понять не могу, так и не понял интегрирование рациональных функций.

Знаю, что в производной, в итоге должен получиться котангенс и, соответственно, там будет проблема с формальным применением формулы Ньютона-Лейбница, т.к Котангенс не существует в точке $\pi$

[ИСН]

А Вы поймите интегрирование рациональных функций. А то потом неудобно будет.
Ещё поймите тайну замены пределов интегрирования. Но это опционально.

[myra_panama]

с начало предел интегрирование найдите по человеческий ....
потом делите дробь на $s^2$ ..... и немножечко подумать

[ewert]

Anexroid в сообщении #451128 писал(а):

$$\int\limits_{-\pi/2}^{\pi} \frac {dx}{4 - 3sin^22x}$$

Когда под интегралом стоят только чётные степени синусов/косинусов (ну или произведения нечётных степеней), стандартная замена -- это просто тангенс. В данном случае: $t=\tg2x$. И, ради бога, никогда даже и не пытайтесь решать интегралы.

-- Сб май 28, 2011 13:31:54 --

Да, не обратил внимания на пределы. Придётся, конечно, разбить промежуток интегрирования на шесть равных -- чтобы на каждом из них замена была монотонной. (Ну и доказать, что по этим отрезкам и интегралы будут равны -- чтоб не мучиться.)

[Anexroid]

А разве нельзя найти первообразную, а затем вернуться к исходной переменной? Тогда же не придется менять пределы интегрирования?

[ewert]

Anexroid в сообщении #451143 писал(а):

А разве нельзя найти первообразную, а затем вернуться к исходной переменной?

Нельзя. Первообразной окажется нечто типа $\arctg(\alpha\,\tg2x)$, а эта функция -- разрывна.

(Т.е. её придётся подправлять до непрерывной добавлением ступенек, чтобы получилась истинная первообразная на всей оси, а к чему заморачиваться без необходимости-то.)

[Anexroid]

Хм. А как тогда менять пределы интегрирования?

[myra_panama]

ewert в сообщении #451136 писал(а):

Придётся, конечно, разбить промежуток интегрирования на шесть равных

это так ли?
$\int\limits_{-\frac{\pi}2}^{-\frac{\pi}4}+\int\limits_{-\frac{\pi}4}^{0}+\int\limits_{0}^{\frac{\pi}4}+\int\limits_{\frac{\pi}4}^{\frac{\pi}2}+\int\limits_{\frac{\pi}2}^{\pi}+?$

[ewert]

myra_panama в сообщении #451146 писал(а):

это так ли?
$\int\limits_{-\frac{\pi}2}^{-\frac{\pi}4}+\int\limits_{-\frac{\pi}4}^{0}+\int\limits_{0}^{\frac{\pi}4}+\int\limits_{\frac{\pi}4}^{\frac{\pi}2}+\int\limits_{\frac{\pi}2}^{\pi}+?$

Почти. Надо только последний интеграл тоже разбить.

Логически проще так. В силу периодичности достаточно считать только интеграл по $[0;\,\frac{\pi}{2}]$ (и потом утроить). Его придётся разбивать на два: $[0;\,\frac{\pi}{4}]\cup[\frac{\pi}{4};\,\frac{\pi}{2}]$. Теперь можно или доказать, что оба интегральчика равны -- или тупо считать каждый из них, не так уж это и долго.

Ну или разумнее всего: заметить, что полный промежуток интегрирования -- это целое количество периодов и, следовательно, достаточно брать интеграл по любому отрезку, длина которого равна периоду; выгоднее всего -- по отрезку $[-\frac{\pi}{4};\,\frac{\pi}{4}]$.

[Anexroid]

Что то у меня с заменой $t = tg2x$ ничего не выходит.

-- Сб май 28, 2011 17:09:53 --

И на каком этапе надо разбивать интеграл на 6?

[myra_panama]

Anexroid в сообщении #451151 писал(а):

Что то у меня с заменой $t = tg2x$ ничего не выходит.
И на каком этапе надо разбивать интеграл на 6?

$$\int \frac {dx}{4 - 3sin^22x}=\int\frac{dx}{\cos^2{2x}(tg^2{2x}+4)}=...$$

дальше уже замена......

[Anexroid]

В общем, заменой $t = 2x$ и $u = tgt$ получил

$$\int\limits_{-\pi/2}^{\pi} \frac {du}{4 + u^2}$$

Здесь уже всё легко. Но вот как поменять предел интегрирования?

[ewert]

myra_panama в сообщении #451153 писал(а):

$$\int \frac {dx}{4 - 3sin^22x}=\int\frac{dx}{\cos^2{2x}(tg^2{2x}+4)}=...$$

Можно и так, но вообще-то надо просто твёрдо помнить, что как квадрат косинуса, так и квадрат синуса легко выражается через квадрат тангенса. И если даже помнить не сами эти формулы, а лишь об их существовании -- при необходимости они мгновенно выводятся.

-- Сб май 28, 2011 14:30:02 --

Anexroid в сообщении #451156 писал(а):

Но вот как поменять предел интегрирования?

Во-первых, коэффициент потерян. Во-вторых, эта замена корректна только на участках непрерывности тангенса.

[myra_panama]

Anexroid в сообщении #451156 писал(а):

Но вот как поменять предел интегрирования?

$\int\limits_{-\frac{\pi}2}^{-\frac{\pi}4}+\int\limits_{-\frac{\pi}4}^{0}+\int\limits_{0}^{\frac{\pi}4}+\int\limits_{\frac{\pi}4}^{\frac{\pi}2}+\int\limits_{\frac{\pi}2}^{\frac{3\pi}4}+\int\limits_{\frac{3\pi}4}^{\pi}$
дальше понятно, по моему

[Anexroid]

ewert, я через эту формулу и выразил. Осталось только с пределами разобраться и обратной заменой.

myra_panama, то есть я свой интеграл от $u$ представить как сумму таких интегралов?
А затем пределы подставлять в первообразную от $u$, или возвращать $x$?

-- Сб май 28, 2011 17:35:11 --

Цитата:

Во-первых, коэффициент потерян. Во-вторых, эта замена корректна только на участках непрерывности тангенса.

Ну да, здесь 1/2 забыл написать коэфициент.

т.е я должен был сначала интеграл от $t$ разбить на 6 интегралов, где $tgt$ - непрерывен, т.е на указанные 6 интегралов? А уже потом делать замену $u = tgt$ ?