Перечитал свое доказательство на свежую голову...
Dan B-Yallay, ну хоть вы бы меня поправили, вы ж вроде разбираетесь в этом.
vlad_light, вы видели классический пример доказательства с правильной серединой, но неправильными началом и концом. Такие "доказательства" всегда оставляют тягостное недоумение — вроде и правильно, но чувствуется подвох.
В общем, в самом начале идеал

берется максимальным. Пусть
![$V(I) = \{ t \in [a,b] \mid f(t) = 0 \text{ для всех } f \in I \}$ $V(I) = \{ t \in [a,b] \mid f(t) = 0 \text{ для всех } f \in I \}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/2/9a22e9bff74f47117f1b45e776923ebb82.png)
. Вся центральная часть служит показу того факта, что это

непусто, ведь если бы оно было пусто, это означало бы, что
![$\forall t_0 \in[a,b] \; \exists f \in I$ $\forall t_0 \in[a,b] \; \exists f \in I$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/f/b/efb18af8003d0d1c515be93b6e67b4d582.png)
такая, что

, и далее по тексту...
А раз

непусто, то ему принадлежит хотя бы одна

, и понятно, что

. Но так как мы взяли

максимальным, то либо

, то есть всякий максимальный идеал имеет вид
![$I_{t_0}, \; t_0 \in [a,b]$ $I_{t_0}, \; t_0 \in [a,b]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/b/a/8baa4608374ba4d36a2119eaa406ab4c82.png)
.
Кстати, можно еще доказать, что

...