Максимальные идеалы в С1([a,b])

[vlad_light]

Описать все максимальные идеалы $C^1([a,b])$.
Знаю ответ: $I_{t_0}=\{x(t)\in C^1([a,b])|x(t_0)=0, t_0\in [a,b]\}$
Доказательство типа такого:
$\forall y(t)\in C^1([a,b]):(xy)(t_0)=x(t_0)y(t_0)=0\cdot y(t_0)=0 \Rightarrow (xy)\in I_{t_0}\Rightarrow I_{t_0}$ - идеал.
Пускай существует идеал $I\supset I_{t_0},I\ni x_0(t_0)\neq 0$
$\forall y(t)\in C^1([a,b]): z(t):=y(t)-\frac{y(t_0)x_0(t)}{x_0(t_0)}\Rightarrow z(t_0)=0\Rightarrow z(t)\in I_{t_0}$
Следовательно $I_{t_0}$ - максимальный идеал.
Вопрос: из каких соображений мы выбирали $z(t)$, почему она имеет именно такой вид и почему из того, что $z(t_0)=0$ следует, что $I_{t_0}$ - максимальный.

Также нужно доказать, что $I_{t_0}$ - единственный максимальный идеал.
Тут доказательство ещё более непонятное...
Вопрос: можно ли как-то проще доказать эти утверждения? (без ограничения запаса знаний).
Спасибо!

[bnovikov]

У Вас в доказательстве пропущен последний шаг: из того, что $z\in I_0\subset I$, следует $y\in I$, т.е. $I=C^1[a,b]$.

[Joker_vD]

Для доказательства того, что нету иных максимальных идеалов, кроме вида $I_{t_0}$, вроде как нужно использовать компактность отрезка $[a,b]$: рассматриваете идеал $I$, отличный от $I_{t_0}$, т.е. такой, что $\forall t_0 \in[a,b] \; \exists f(t) \in I$ такая, что $f(t_0) \ne 0$.

Для произвольной точки $t_0 \in [a,b]$ возьмем $f_{t_0}(t) \in I \colon f_{t_0}(t_0) \ne 0$. Так как $f_{t_0}(t)$ непрерывна, то она не равна нулю не только в точке $t_0$, но и в некоторой ее окрестности. Тогда система таких окрестностей всех $f_{t_0}(t), \; t_0\in[a,b]$ покрывает весь отрезок $[a,b]$.

Но $[a,b]$ компактен, поэтому можно выбрать конечное число функций $f_{t_1}(t), \ldots, f_{t_n}(t)$, чьи указанные окрестности покрывают весь $[a,b]$. Тогда функция $f(t) = \sum\limits_{i=1}^{n} f^2_{t_i}(t)$ принадлежит $I$ и не обращается в ноль ни в одной точке $t \in [a,b]$.

Но тогда существует $g(t) = \frac{1}{f(t)} \in C^1[a,b]$ и $(fg)(t) = 1 \in I$, откуда следует, что $I = C^1[a,b]$.

Итак, мы доказали даже чуть больше — что все собственные идеалы в $C^1[a,b]$ максимальны.

P.S. Буду очень рад увидеть доказательство, не использующее компактность отрезка. Мои попытки разбились об функцию $x^3 \sin\frac1x \in C^1[-1,1]$, которая имеет бесконечно много нулей на отрезке.

[Dan B-Yallay]

Цитата:

Вопрос: можно ли как-то проще доказать эти утверждения? (без ограничения запаса знаний).

Рассмотрим гомоморфизм

$$\varphi: C^1[a,b] \to \mathbb R; \qquad \varphi(f)=f(t_0) \qquad t_0\in [a,b].$$

Ядром этого гомоморфизма очевидно является Вами указанный идеал

$$I_{t_0}=\{x(t)\in C^1([a,b])|x(t_0)=0\}$$

Так как факторкольцо $C^1[a,b]/I_{t_0} \cong \mathbb R$ является полем, то идеал - максимален. [Dummit-Foote]

[beroal]

Joker_vD в сообщении #450285 писал(а):

Итак, мы доказали даже чуть больше — что все собственные идеалы в $C^1[a,b]$ максимальны.

Даже нулевой?

[beroal]

Joker_vD в сообщении #450285 писал(а):

Итак, мы доказали даже чуть больше — что все собственные идеалы в $C^1[a,b]$ максимальны.

Я думаю, что вы хотели сказать, что любой собственный идеал включён в $I_t$ для некоторого $t$. Максимален — это уже слишком.

[vlad_light]

Цитата:

$C^1[a,b]/I_{t_0} \cong \mathbb R$

это по теореме "Фактор по ядру изоморфен образу"?

Цитата:

Так как факторкольцо является полем, то идеал - максимален.

Как докзать это утверждение? И как доказать единственность(кроме, как выбирать конечное подпокрытие и рассматривать ф-цию $\sum f^2_i$)?
Спасибо!

[Dan B-Yallay]

vlad_light в сообщении #450530 писал(а):

Цитата:

$C^1[a,b]/I_{t_0} \cong \mathbb R$

это по теореме "Фактор по ядру изоморфен образу"?

Что-то вроде того.

Цитата:

Цитата:

Так как факторкольцо является полем, то идеал - максимален.

Как докзать это утверждение? И как доказать единственность(кроме, как выбирать конечное подпокрытие и рассматривать ф-цию $\sum f^2_i$)?
Спасибо!

В той же книге [Dummit-Foote] есть доказательство. Правда, на английском, но вы же сами спрашивали "(без ограничения запаса знаний)."

[vlad_light]

Ещё раз спасибо!

[Joker_vD]

Перечитал свое доказательство на свежую голову... Dan B-Yallay, ну хоть вы бы меня поправили, вы ж вроде разбираетесь в этом.

vlad_light, вы видели классический пример доказательства с правильной серединой, но неправильными началом и концом. Такие "доказательства" всегда оставляют тягостное недоумение — вроде и правильно, но чувствуется подвох.

В общем, в самом начале идеал $I$ берется максимальным. Пусть $V(I) = \{ t \in [a,b] \mid f(t) = 0 \text{ для всех } f \in I \}$. Вся центральная часть служит показу того факта, что это $V(I)$ непусто, ведь если бы оно было пусто, это означало бы, что $\forall t_0 \in[a,b] \; \exists f \in I$ такая, что $f(t_0) \ne 0$, и далее по тексту...

А раз $V(I)$ непусто, то ему принадлежит хотя бы одна $t_0$, и понятно, что $I \in I_{t_0}$. Но так как мы взяли $I$ максимальным, то либо $I = I_{t_0}$, то есть всякий максимальный идеал имеет вид $I_{t_0}, \; t_0 \in [a,b]$.

Кстати, можно еще доказать, что $t_0 \ne t_1 \Longrightarrow I_{t_0} \ne I_{t_1}$...

[Dan B-Yallay]

(Joker_vD)

Joker_vD в сообщении #450810 писал(а):

Перечитал свое доказательство на свежую голову... Dan B-Yallay, ну хоть вы бы меня поправили, вы ж вроде разбираетесь в этом.

Вы мои познания в алгебре явно переоцениваете. Я всего лишь содрал из книги ответ на вопрос о более простом доказательстве.