диф.уравнения

[all]

1.
$\begin{gathered} y^{'''} + y = \cos x \hfill \\ y^{'''} + 1 = 0 \hfill \\ \lambda ^3 + 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} $
Дальше не знаю как делать..

2. $y{''} + y' - 2y = 8x^2 $
$\begin{gathered} y{''} + y' - 2y = 0 \hfill \\ \lambda ^2 + \lambda - 2 = 0 \hfill \\ \lambda _1 = 1 \hfill \\ \lambda _2 = - 2 \hfill \\ \hat y = C_1 e^x + C_2 e^{ - 2x} \hfill \\ \end{gathered} $

И здесь что дальше..
Помогите, пожалуйста.

[AKM]

Пока кнопка активна, подредактируйте своё сообщение: производные пишут просто так: y', y'' (два, три апострофа), без крышечки ^: $y', y'''$.

[Dan B-Yallay]

1)

all в сообщении #450216 писал(а):

1.
$\begin{gathered} y^{'''} + y = \cos x \hfill \\ y^{'''} + 1 = 0 \hfill \\ \lambda ^3 + 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} $
Дальше не знаю как делать...
Помогите, пожалуйста.

Надо перенести единицу вправо, выразить $\quad -1 \ $ в тригонометрической форме и использовать формулу Муавра для нахожденя корней.

[oleg-spbu]

all в сообщении #450216 писал(а):

1.


2. $y{''} + y' - 2y = 8x^2 $
$\begin{gathered} y{''} + y' - 2y = 0 \hfill \\ \lambda ^2 + \lambda - 2 = 0 \hfill \\ \lambda _1 = 1 \hfill \\ \lambda _2 = - 2 \hfill \\ \hat y = C_1 e^x + C_2 e^{ - 2x} \hfill \\ \end{gathered} $

И здесь что дальше..
Помогите, пожалуйста.

Вы нашли общее решение однородного уравнения $\hat y$
Теперь нужно найти частное решение неоднородного уравнения $y^*$, а затем сложить с $\hat y$ -- и будет вам счастье ответ (в ответе к таким уравнениям обычно просят указать общее решение неоднородного уравнения)!
P.S. Частное решение неоднородного уравнения можно найти методом неопределенных коэффициентов)
Погуглите и поймете -- о чем речь)

[all]

Так вот, частное решение неоднородного уравнения я и не могу найти, точнее не знаю в каком виде его искать!

[ИСН]

В стандартном: таком же, как правая часть.
То есть, применительно к данному случаю, $Ax^2+Bx+C$.

[all]

Получилось:) Спасибо.

Теперь вот это не могу:
Надо перенести единицу вправо, выразить $\quad -1 \ $ в тригонометрической форме и использовать формулу Муавра для нахожденя корней.

[ИСН]

Вы про комплексные числа слышали что-нибудь?

[all]

Вот так:
$ - 1 = 1\left( {\cos \pi + i\sin \pi } \right)$

[Dan B-Yallay]

А теперь вспомним формулу товарища Муавра, Абрама.

[all]

$z = r\left( {\cos \phi + i\sin \phi } \right)$

[Dan B-Yallay]

Это формула Эйлера. У Муавра похожее, но со степенями (и корнями)

[all]

$z^n = \left( {r\left( {\cos \phi + i\sin \phi } \right)} \right)^n = r^n \left( {\cos \phi + i\sin \phi } \right)$

AKM:

$\left( {r\left( {\cos \phi + i\sin \phi } \right)} \right)^n = r^n \left( {\cos {\color{magenta}n}\phi + i\sin {\color{magenta}n}\phi } \right)$
(списал из Википедии)

[Dan B-Yallay]

all в сообщении #450567 писал(а):

$z^n = \left( {r\left( {\cos \phi + i\sin \phi } \right)} \right)^n = r^n \left( {\cos \phi + i\sin \phi } \right)$

$$\begin{align*} z^n &=r^n (\cos n\phi +i \sin n\phi) \\ \sqrt[n]{z}& =?\end{align*}$$

[all]

$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r}\left( {\cos \frac{{\phi + 2\pi k}}{n} + i\sin \frac{{\phi + 2\pi k}}{n}} \right)$

AKM:

$\ldots\;k=0,\ldots,n-1$
(это уже не списывал; сам додумался; хотя это не особо важно.)