два небольших задания на интегралы

[ADRenaLIN]

Помогите, плиз...
1. Вычислить интеграл: интеграл $(x^2-4)^{3/2} / x^3$ по dx (здесь, наверно, подстановку сделать надо какую-то, но не могу сообразить какую)
2. Вычислить объем тела, ограниченного линиями $z=0, y+z=2, x^2+y^2=4$ (запуталась в пределах интегрирования)

[Sonic86]

Привет!
Интегралы пишутся так: $\int f(x) dx$.
1. Можно попробовать $x=2 \ch t$.
2. Представьте себе тело хотя бы, оно очень просто выглядит. Считать его можно через цилиндрические координаты. И пределы интегрирования тогда очевидны.

[ADRenaLIN]

Удалена цитата предыдущего сообщения

я нарисовала тело и проекцию, попробовала считать в декартовых координатах. объем получился отрицательный :(
а с цилиндрическими координатами не очень дружу, поэтому возникла трудность. обычно без проблем объемы считаю. а тут...

-- Ср май 25, 2011 08:08:42 --

Sonic86 в сообщении #449908 писал(а):

Привет!
1. Можно попробовать $x=2 \ch t$.

какое-то нагромождение получается :(

[Sonic86]

ADRenaLIN писал(а):

какое-то нагромождение получается :(

Ну почему, я вот дошел до $\int \frac{dt}{\ch ^3t}$ - уже немного оттуда до ответа осталось. Пишите, посмотрим, где затруднения.

ADRenaLIN писал(а):

я нарисовала тело и проекцию, попробовала считать в декартовых координатах. объем получился отрицательный :(
а с цилиндрическими координатами не очень дружу, поэтому возникла трудность. обычно без проблем объемы считаю. а тут...

Про них в каждой книжке по матану написано. Даже в письменном. Это простое обобщение полярных координат, даже якобиан перехода тот же: $x = r \cos \varphi, y = r \sin \varphi, z=z$. А вообще - если тело нарисовали, его объем виден, можно даже без интеграла посчитать (чтоб проверить себя потом)

[ADRenaLIN]

Sonic86 в сообщении #449916 писал(а):

А вообще - если тело нарисовали, его объем виден, можно даже без интеграла посчитать (чтоб проверить себя потом)

у меня скошенный цилиндр получился

[Sonic86]

ADRenaLIN писал(а):

у меня скошенный цилиндр получился

Значит его объем равен половине чего?

Вообще, пишите вычисления сразу, чтоб не мучиться долго.

-- Ср май 25, 2011 10:47:27 --

В 1 я наврал. Можно сделать замену $x^2=t$ и свести интеграл к интегралу от биномиального дифференциала.

[ADRenaLIN]

$x=2cht, dx= 2*shtdt$
подставляем
$\int \frac {(4*(cht)^2-4)^{3/2}}{8*(cht)^3}*2*shtdt = \int \frac {((cht)^2-1)^{3/2}}{(cht)^3}*2*shtdt $
дальше туплю

[Sonic86]

Ну вообще-то $\ch ^2 t - 1 = \sh ^2 t$
Но не надо уже:

Sonic86 писал(а):

В 1 я наврал. Можно сделать замену $x^2=t$ и свести интеграл к интегралу от биномиального дифференциала.

[ADRenaLIN]

Удалена цитата предыдущего сообщения!

какого дифференциала?

-- Ср май 25, 2011 08:55:43 --

Sonic86 в сообщении #449922 писал(а):

Sonic86 писал(а):

В 1 я наврал. Можно сделать замену $x^2=t$ и свести интеграл к интегралу от биномиального дифференциала.

хорошо подставила и остановилась на...
$0.5 * \int \frac {(t-4)^{3/2}}{t^2}dt$

[Sonic86]

ADRenaLIN писал(а):

какого дифференциала?

Ну есть такие интегралы от биномиального дифференциала (погуглите хотя бы) - это интегралы вида $\int x^m (ax^n+b)^p dx$. Для них есть критерий возможность их взять + 3 подстановки Чебышева. Проверяете 3 условия и в зависимости от того, какие условия выполняются, выбираете нужную подстановку и делаете. Сейчас еще сам попробую...

-- Ср май 25, 2011 10:59:19 --

Вот тут есть: http://www.pm298.ru/integral6.php

[ADRenaLIN]

порешала-порешала, застряла на интеграле
$\int \frac {z^4dz}{(z^2+4)^2}= \int (1+ \frac {-8z^2-16}{(z^2+4)^2})dz=$
если дальше разложила правильно, то получилось
$= \int (1+ \frac {16}{(z^2+4)^2} + \frac {-8}{z^2+4})dz= z - 4arctg (\frac {z}{2}) + c1 - \int \frac {16}{(z^2+4)^2}dz$

[Sonic86]

Из числителя еще можно отделить $8(z^2+4)$. А интегралы $\int \frac{dz}{(z^2+z^2)^m}$ вроде бы берутся рекуррентно. Можно посмотреть в Письменном или Фихтенгольце.

-- Ср май 25, 2011 12:07:15 --

Если в книжки неохота лазить, рассмотрите производную функции $\frac{z}{(z^2+1)^m}$.

[AKM]

ADRenaLIN в сообщении #449923 писал(а):

какого дифференциала?

Похоже, биноминальный дифференциал вполне законный синоним дифференциального бинома.

[ADRenaLIN]

с интегралом разобралась

-- Ср май 25, 2011 13:56:20 --

осталось с пределами интегрирования разобраться и цилиндрическими координатами

-- Ср май 25, 2011 13:57:43 --

подскажите тупику, а то запамятовала.... как считаются интегралы вида
$\int \int dydz + dxdy$
это при вычислении циркуляции про формуле Стокса получилось

[ADRenaLIN]

с объемом разобралась, даже цилиндрические координаты не потребовались...

Слегка теперь с теорвером запуталась...
Орудие стреляет в полосу шириной 30м. СВ Х (расстояние от середины полосы до места попадания снаряда) распределена нормально со средним квадратическим отклонением 6м и матожиданием равным 0. Найти вероятность попадания в полосу, если выпущено два снаряда, причем известно, что для разрушения полосы достаточно одного попадания.