Общая топология/ непрерывность отображения и базы

[Evervoid]

1) Является ли непрерывным отображение из отрезка [0,2] с индуцир.топологией прямой в стрелке:

$ f(x)=\begin {cases} 3x,&\text {если $x\in [0,1]$}\\ 4-2x,&\text {если $x\in (1,2]$} \end{cases} $

2) Доказать, что в n-точечном пространстве не более чем n баз.

[Kallikanzarid]

Где возникает проблема?

[vlad_light]

Отображение линейное и ограниченное - значит непрерывное. Вроди так можно, но не уверен.

[Evervoid]

1) проблема в определении прообраза открытых мн-в в "стрелке". Ведь нет прообраза у достаточно удаленных точек) или там нужно рассматривать сужения?
2) даже не знаю как подступиться, ведь там топологии могут быть какие угодно. Конечно на интуитивном уровне вроде понятно, но как начать доказательство, с этим проблемы.

[JMH]

1) Функция имеет разрыв первого рода и если бы речь шла о действ. прямой, то всё было бы ясно, но условие изложено как-то невнятно...
2) По определению базы любое открытое множество представляется объединением элементов базы, в Вашем случае любое мн-ство представляется объединением не более, чем $n$ элементов...

[Виктор Викторов]

Evervoid в сообщении #449274 писал(а):

1) Является ли непрерывным отображение из отрезка [0,2] с индуцир.топологией прямой в стрелке:

$ f(x)=\begin {cases} 3x,&\text {если $x\in [0,1]$}\\ 4-2x,&\text {если $x\in (1,2]$} \end{cases} $

Ничего не понимаю. Во-первых, область определения этой функции $[0, 2]$, а множество значений $[0, 3]$. Во-вторых, на которой из них топология, индуцированная топологией прямой, а на которой топология, индуцированная топологией стрелки? В третьих, какой стрелки? «Стрелочные» детали здесь topic45376.html .

-- Пн май 23, 2011 17:13:16 --

Evervoid в сообщении #449274 писал(а):

2) Доказать, что в n-точечном пространстве не более чем n баз.

И здесь я ничего не понимаю. А какая топология в пространстве?

[Evervoid]

1) Ой, там ошибка в условии в последней букве, должно быть "в стрелку".
имеется в виду множество $[0,+\infty)$ с открытыми мн-вами - пустым, всем множеством и лучами вида $(a, +\infty)$
2) скорее всего нужно доказать для любой возможной топологии

[Виктор Викторов]

Evervoid в сообщении #449274 писал(а):

1) Является ли непрерывным отображение из отрезка [0,2] с индуцир.топологией прямой в стрелке:

$ f(x)=\begin {cases} 3x,&\text {если $x\in [0,1]$}\\ 4-2x,&\text {если $x\in (1,2]$} \end{cases} $

Evervoid в сообщении #449469 писал(а):

1) Ой, там ошибка в последней букве, должно быть "в стрелку".
имеется в виду множество $[0,+\infty)$ с открытыми мн-вами - пустым, всем множеством и лучами вида $(a, +\infty)$

Вот теперь появилась тема для разговора. Но, и теперь я не понимаю кто Вам мешает взять, например, множество $({\frac 1 2}, +\infty)$ и найти его полный прообраз, а затем повторить то же упражнение с множеством $({\frac 5 2}, +\infty)$ и $({1, +\infty)$?

[Evervoid]

но ведь если $a>3$ то прообраз луча $(a,+\infty)$ будет пустым?

[Виктор Викторов]

Evervoid в сообщении #449274 писал(а):

2) Доказать, что в n-точечном пространстве не более чем n баз.

Evervoid в сообщении #449469 писал(а):

2) скорее всего нужно доказать для любой возможной топологии

Значит топология должна быть как можно больше! А какая самая большая топология на $n{-}$точечном пространстве? И какова её наименьшая база? После этого проблема сводится к комбинаторике.

-- Пн май 23, 2011 21:00:09 --

Evervoid в сообщении #449473 писал(а):

но ведь если $a>3$ то прообраз луча $(a,+\infty)$ будет пустым?

Да. Ну и что? Пустое множество - открытое множество. А если хотите, то можете работать на $[0, 3]$ c топологией, индуцированной стрелкой.

[Evervoid]

можно спросить, что значит "больше" в смысле топологий?) больше мощность топологической структуры, или что?
тогда, видимо, самая большая топология - дискретная.

но ведь у некоторых лучей будет не единственный прообраз?

[Виктор Викторов]

Правильно! Самая большая топология дискретная. А какая её база самая маленькая?

-- Пн май 23, 2011 21:09:06 --

Evervoid в сообщении #449475 писал(а):

но ведь у некоторых лучей будет не единственный прообраз?

Не понял. Дайте пример.

-- Пн май 23, 2011 21:15:13 --

Обратите внимание! Я написал: "полный прообраз".

[Evervoid]

1) если мы возьмем прообраз луча $(1; +\infty )$, то его прообраз $(\frac 1 3; 1]$?

-- Вт май 24, 2011 05:26:14 --

а как доказать что именно дискретная топология будет давать то что нам нужно, то есть что не существует другой топологии, дающей большее число баз?

у меня небольшие проблемы с пониманием полного прообраза) ведь $f(x)$ не будет инъективным, как мы определяем тогда обратное? Это множество точек, образ которых будет давать данный луч?

-- Вт май 24, 2011 05:33:56 --

кажется в первой задаче я понял. у луча $(1;+\infty)$ прообразом будет $(\frac13;\frac32)$?

[Виктор Викторов]

Evervoid в сообщении #449478 писал(а):

у меня небольшие проблемы с пониманием полного прообраза) ведь $f(x)$ не будет инъективным, как мы определяем тогда обратное?

Вот именно в этом Ваша проблема! Вот функция $f$. Пусть она отображает множество $X$ в множество $Y$. И пусть множество $L$ подмножество множества $Y$. Теперь что такое полный прообраз множества $L$? Это множество тех и только тех элементов множества $X$, для которых $f(x)\in L$. А теперь найдите правильно полные прообразы, о которых мы говорим.

-- Пн май 23, 2011 21:51:53 --

Evervoid в сообщении #449478 писал(а):

а как доказать что именно дискретная топология будет давать то что нам нужно, то есть что не существует другой топологии, дающей большее число баз?

Виктор Викторов в сообщении #449476 писал(а):

Самая большая топология дискретная. А какая её база самая маленькая?

Ответьте на этот вопрос, тогда поймете.

[Evervoid]

например, база - каждая точка. ну интуитивно понятно, но не до конца)