Общая топология/ непрерывность отображения и базы

[Виктор Викторов]

Нет. База - это набор открытых в этой топологии множеств из которых как из кубиков можно собрать каждое множество данной топологии. В случае дискретной топологии каждое множество (и в том числе каждая точка) -- открытое множество. Следовательно, как минимум, в базу должно входить каждое единичное множество и пустое множество.

[Evervoid]

Ага, но ведь существует больше чем n способов выбрать в базу набор из остальных открытых множеств?

[Виктор Викторов]

Самым загадочным в Вашем ответе является «Ага». Рассмотрим пример: $\left\{a, b\right\}$ -- множество. Определим на нем дискретную топологию: $\left\{\varnothing, \left\{a\right\}, \left\{b\right\}, \left\{a, b\right\} \right\}$. Теперь посмотрим минимальную базу: $\left\{\varnothing, \left\{a\right\}, \left\{b\right\}\right\}$. Ясно, что каждая база должна содержать эти три множества. В данном случае остается ещё одна база: $\left\{\varnothing, \left\{a\right\}, \left\{b\right\}, \left\{a, b\right\} \right\}$. Посчитайте сколько получилось баз и рассмотрите, используя знания комбинаторики, случай $n$ элементов.

[Evervoid]

Понятно, что все одноточечные множества и пустое будут содержаться в базе. Но всего ведь открытых множеств в $n-$точечной топологии будет $2^n$? Тогда мы можем просто выбрать любые из них (естественно, кроме тех, что уже в базе), то есть $2^{2^{n}-n-1}$ способов, и, соответственно, столько же баз. Где у меня ошибка?

[Виктор Викторов]

А где Вы взяли это? У Вас всего $2^n$ подмножеств. И Вас интересуют уже у подмножеств подмножеств лишь те, которые содержат каждый все единичные множества и пустое множество.

[Evervoid]

Значит, я не понял чего-то. Вот смотрите, мы знаем, что в базе у нас пустое множество и $n$ одноточечных множеств. Тогда любое подмножество исходного пространства уже будет объединением нескольких точек-элементов базы. Значит, если мы в базу что-нибудь открытое еще добавим, оно ведь останется базой? А количество оставшихся "неиспользованных" подмножеств исходного пространства равно $2^{n} -n-1$.

[Виктор Викторов]

Evervoid в сообщении #449899 писал(а):

Вот смотрите, мы знаем, что в базе у нас пустое множество и $n$ одноточечных множеств. Тогда любое подмножество исходного пространства уже будет объединением нескольких точек-элементов базы. Значит, если мы в базу что-нибудь открытое еще добавим, оно ведь останется базой?

Совершенно верно. У Вас дискретное пространство. Его минимальная база пустое множество и $n$ одноточечных множеств. И любой набор множеств, включающий эту минимальную базу, является базой. А дальше наcтупает комбинаторика. И с ней разбирайтесь сами или попросите кого-нибудь другого Вам помочь.

[Someone]

Виктор Викторов в сообщении #449491 писал(а):

Следовательно, как минимум, в базу должно входить каждое единичное множество и пустое множество.

Я не понял, зачем нужно включать в базу пустое множество. Если Вы озабочены тем, чтобы пустое множество было объединением элементов базы, то это выполняется автоматически, поскольку объединение пустого семейства множеств равно пустому множеству (по определению объединения: $\bigcup x=\{y:\exists z(z\in x\& y\in z\}$, что при $x=\varnothing$ даёт $\bigcup x=\varnothing$).

Поэтому минимальная база дискретного $n$-точечного пространства состоит из $n$ одноточечных подмножеств.

Evervoid в сообщении #449899 писал(а):

А количество оставшихся "неиспользованных" подмножеств исходного пространства равно $2^{n} -n-1$.

С учётом поправки относительно пустого множества - $2^n-n$. И подсемейств там будет, соответственно, $2^{2^n-n}$.

Evervoid в сообщении #449274 писал(а):

2) Доказать, что в n-точечном пространстве не более чем n баз.

А задачу Вы точно сформулировали? Это не пересказ своими словами?

[Виктор Викторов]

Someone в сообщении #449993 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #449491 писал(а):

Следовательно, как минимум, в базу должно входить каждое единичное множество и пустое множество.

Я не понял, зачем нужно включать в базу пустое множество. Если Вы озабочены тем, чтобы пустое множество было объединением элементов базы, то это выполняется автоматически, поскольку объединение пустого семейства множеств равно пустому множеству (по определению объединения: $\bigcup x=\{y:\exists z(z\in x\& y\in z\}$, что при $x=\varnothing$ даёт $\bigcup x=\varnothing$).

Никак не удается достигнуть совершенства. Либо мне достается за включение пустого множества в базу (что разрешается определением), либо за рассмотрения пустого объединения семейства множеств topic35366.html

[Someone]

Виктор Викторов в сообщении #450012 писал(а):

Либо мне достается за включение пустого множества в базу (что разрешается определением)

Разрешается, но не требуется.
Вообще, существует ведь и другое определение базы: семейство $\mathscr B$ открытых подмножеств пространства $X$ называется базой пространства $X$, если для каждой точки $x\in X$ и для каждого открытого множества $U\subseteq X$, содержащего точку $x$, существует такое $O\in\mathscr B$, что $x\in O\subseteq U$.