Гомеоморфизм и равномощность

[Lily_)]

Как связаны понятия гомеоморфизм и равномощность?

[mihailm]

гомеоморфные множества равномощны
в другую сторону толи неверно, толи вообще бессмысленно

[gris]

Понятия связывает взаимно-однозначность (биекция).

Гомеоморфизм взаимо-однозначное и непрерывное отображение, обратное к которому также непрерывно.
Множества равномощны, если между ними можно установить взаимнооднозначное соответствие.

При этом, как сказал mihailm, непрерывного отображения может и не существовать (отрезок равномощен двум интервалам), либо о непрерывности вообще не может идти речь, если на одном из множеств нет топологии.

[Lily_)]

А если говорить о гомеоморфных топологических пространствах, то там между элементами топологий существуют взаимнооднозначное соответсвие?

[Someone]

Что Вы называете "элементами топологий"? Между открытыми множествами будет взаимно однозначное соответствие (просто по определению непрерывного отображения). Между замкнутыми - тоже.

mihailm в сообщении #448937 писал(а):

гомеоморфные множества равномощны

Для множеств понятие гомеоморфности не определено. Только для топологических пространств.

[Lily_)]

Понятно, тогда получается равномощность топологий гомеоморфных топологических пространств следует из определения гомеоморфизма? Фу, абракадабра

[Joker_vD]

Lily_) в сообщении #449010 писал(а):

равномощность топологий гомеоморфных топологических пространств следует из определения гомеоморфизма?

Это, собственно, альтернативное его определение.

Lily_) в сообщении #449010 писал(а):

Фу, абракадабра

Это вы еще теорию категорий не видели.

[Lily_)]

Вам все очевидно и эквивалентно, а мне все непонятно) Вот например в определении пишут, что отображение гомеоморфизм инъективно и сюрьективно, но соответствие между множествами или между элементами этих множеств имеется ввиду, или то и другое?

[Someone]

Я не понял вопроса. А отображение - это что такое?

[Lily_)]

Заслуженный участник с пятью звездочками решил пошутить))) И все-таки-отображение-это закон, по которомцу элементу из одного мн-ва ставится в соответсвие элемент из другого

-- Пн май 23, 2011 01:24:27 --

Вообщем, элементы топологий суть различные множества; равномощные топологии-это когда всем множествам из первой топологии поставлены в соответсвие множества из второй, или кроме этого надо, чтоб поставленнные в соответсвие множетва были ещё и равномощны? ну не знаю как это еще сказать)))

[Виктор Викторов]

Lily_) в сообщении #449017 писал(а):

Вот например в определении пишут, что отображение гомеоморфизм инъективно и сюрьективно, но соответствие между множествами или между элементами этих множеств имеется ввиду, или то и другое?

Если отображение одного топологического пространства в другое инъективно и сюръективно, то оно биективно т. е. взаимно-однозначно (докажите это). Это необходимое условие гомеоморфизма. Второе условие –
взаимно-однозначное соответствие открытых множеств т. е. каждому открытому множеству одного пространства соответствует одно и только одно открытое множество другого.

-- Вс май 22, 2011 16:47:38 --

mihailm в сообщении #448937 писал(а):

гомеоморфные множества равномощны в другую сторону толи неверно, толи вообще бессмысленно

В другую сторону в общем случае неверно, но осмысленно. Например, рассмотрим два равномощных топологических пространства (мощность больше единицы). Пусть одно из них имеет дискретную топологию (все подмножества открытые), а второе антидискретную (открыты только пустое множество и само пространство).

[gris]

А вот если взять единичный отрезок, на которым задана база топологии в виде интервалов с рациональными координатами, то есть счётная, а на другом отрезке база в виде интервалов с действительными координатами, то есть мощности континуума.

Рассмотрим естественную биекцию. Это гомеоморфизм. Но "элементы", то есть как я понял базы, неравномощны.

Или я путаю?

В общем-то, наверное, то же самое, что в предыдущем сообщении, но там я что-то не разобрался с непрерывностью. Можно ли там построить гомеоморфизм?

[Виктор Викторов]

Базы гомеоморфных пространств не обязаны быть равномощны. Простой пример множество вещественных чисел. Это пространство имеет счетную базу (множество всех открытых интервалов с рациональными концами) и базу континуальной мощности (множество всех открытых интервалов). Другое дело, что, если пространства гомеоморфны и одно из них имеет базу такой-то мощности, то и второе имеет базу той же мощности. Пространство может иметь много баз. И сама топология то же база самой себя.

[gris]

Собственно это я и хотел сказать. Неуклюже прозвучало: интервал с рациональными координатами. Имелись в виду, конечно, концы. Первая база определяет ту же самую топологию, что и вторая, но чисто формально базы не равномощны. Мне показалось, что под "элементами топологии" автор темы понимала именно базу.

[Виктор Викторов]

gris в сообщении #449224 писал(а):

Собственно это я и хотел сказать. Первая база определяет ту же самую топологию, что и вторая, но чисто формально базы не равномощны.

Не понял, что здесь "чисто формально". И формально и неформально даже одно и тоже пространство может (и часто имеет) базы разной мощности. Что касается элементов топологии, то топология -- это множество, а его элементы открытые в этом топологическом пространстве множества.