Найти производную функции в точке по направлению

[20Katya10]

Найти производную функции $z=f(\sqrt{4+x^2+y^2})$ в точке $A=(2,1)$ в направлении от этой точки к началу координат и градиент в той же точке.

моё решение
$z'_x=(\sqrt{4+x^2+y^2})'=\frac {x} {\sqrt{4+x^2+y^2}}$
$z'_y=(\sqrt{4+x^2+y^2})'=\frac {y} {\sqrt{4+x^2+y^2}}$
Подставила точки
$z'_x=\frac {2} {\sqrt{4+2^2+1^2}}=\frac {2} {3}$
$z'_y=\frac {1} {\sqrt{4+2^2+1^2}}=\frac {1} {3}$

дальше точно не знаю
$\operatorname{grad} u=\frac {\delta u} {\delta z}i+\frac {\delta u} {\delta y}j+\frac {\delta u} {\delta z}k$
$\operatorname{grad} z=\frac {x} {\sqrt{4+x^2+y^2}}i+\frac {y} {\sqrt{4+x^2+y^2}}j$

Помогите разобраться с "в направлении от этой точки к началу координат" и градиентом

[ShMaxG]

20Katya10 в сообщении #448397 писал(а):

Найти производную функции z=f(\sqrt{4+x^2+y^2})

Вы имели ввиду производную функции $z = \sqrt{4+x^2+y^2}$?

[20Katya10]

да,её имела ввиду

[ShMaxG]

Производная функции $z=z(x,y)$ по направлению $n$ (вектор) называется число: $\[\left( {\operatorname{grad} z,n} \right)\] $, скалярное произведение. Градиент вроде найден неправильно, откуда там икс и игрек? Теперь подумайте, что за вектор $n$ такой у вас в задаче, напишите его явно и вычислите скалярное произведение.

-- Сб май 21, 2011 18:39:52 --

Добавлю, что $n$ -- единичный вектор.

-- Сб май 21, 2011 18:43:44 --

20Katya10 в сообщении #448397 писал(а):

$grad u=\frac {\delta u} {\delta z}i+\frac {\delta u} {\delta y}j+\frac {\delta u} {\delta z}k$

Какие-то $u$, $z$-ты повсюду...

20Katya10 в сообщении #448397 писал(а):

$gradz=\frac {x} {\sqrt{4+x^2+y^2}}i+\frac {y} {\sqrt{4+x^2+y^2}}j$

Вы это в общем виде написали, надо подставить числа, чтобы получить градиент в точке $A$, а так -- правильно.

[20Katya10]

$\operatorname{grad}z=\frac {2} {3}i+\frac {1} {3}j=\frac {2} {3}\cdot(-2)+\frac {1} {3}\cdot(-1)=-\frac {4} {3}-\frac {1} {3}=-\frac {5} {3}$

u-это я общую формулу написала. Подставила, вот что получилось. А со скалряным произведением всё ещё с n-единичн.вектором надо действия производить??

[ShMaxG]

20Katya10 в сообщении #448409 писал(а):

$gradz=\frac {2} {3}i+\frac {1} {3}j=\frac {2} {3}\cdot(-2)+\frac {1} {3}\cdot(-1)=-\frac {4} {3}-\frac {1} {3}=-\frac {5} {3}$

Бррррр, это что такое? (Хотя к ответу Вы близки)

Вообще-то, $i$ и $j$ -- это единичные векторы, которые у Вас в плоскости $(x,y)$ базис составляют. Более конкретно: $i = (1,0)$, $j = (0,1)$.

$\[\operatorname{grad} z = \frac{2} {3}i + \frac{1} {3}j = \left( \begin{gathered} 2/3 \hfill \\ 1/3 \hfill \\ \end{gathered} \right)\] $

Градиент -- вектор. Направление $n$ -- вектор. Производная по направлению -- их скалярное произведение, то бишь число.

[20Katya10]

да, это я что-то по невнимательности написала.
А вот ,чтоб нам скалярное произведение вычислить, нужен же косинус...

[ShMaxG]

20Katya10 в сообщении #448415 писал(а):

А вот ,чтоб нам скалярное произведение вычислить, нужен же косинус...

Нет, не нужен.

$\[\left( {a,b} \right) = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}\]$.

[20Katya10]

я совсем запуталась
нам нужно сейчас вычислять скалярное или уже всё сделано? просто где тут a и b, нам же не нужно $2/3\cdot1/3$ ?

А вот вопрос у меня,там про начала координат говорится. Для этого у меня что-нибудь сделано?

[ShMaxG]

Сейчас у Вас правильно вычислен градиент: $\[\operatorname{grad} z = \left( \begin{gathered} 2/3 \hfill \\ 1/3 \hfill \\ \end{gathered} \right)\]$.

Нужно:

1) Найти направление из точки А в начало координат. Направление должно быть единичным вектором.

2) Вычислить скалярное произведение по формуле, которую я Вам написал. Индекс означает номер компоненты у вектора.

-- Сб май 21, 2011 19:43:16 --

20Katya10
Давайте я Вам помогу. Вот пусть есть точка B с координатами $(4,2)$. Тогда вектор, соединяющий начало координат и эту точку: $\[\left( \begin{gathered} 4 \hfill \\ 2 \hfill \\ \end{gathered} \right)\]$. А направление на эту точка из начала координат должно быть единичным вектором, т.е. этот вектор надо отнормировать, поделить на его модуль, чтобы модуль получившегося числа был равен 1. Модуль этого вектора $\[\sqrt {{4^2} + {2^2}} = \sqrt {20} \]$. Значит направление: $\[\left( \begin{gathered} 4/\sqrt {20} \hfill \\ 2/\sqrt {20} \hfill \\ \end{gathered} \right) = \frac{1} {{\sqrt {20} }}\left( \begin{gathered} 4 \hfill \\ 2 \hfill \\ \end{gathered} \right)\]$


А теперь попробуйте сами, для своего случая.

[20Katya10]

вот так получается

$\[\operatorname =\left( \begin{gathered} 2/3 \hfill \\ 1/3 \hfill \\ \end{gathered} \right)\]$$\cdot (9/\sqrt(5))$

[ShMaxG]

Вы зачем-то взяли градиент, а надо было брать вектор из начала координат до точки $A$. Ну или из точки А в начало координат. В конечном счете нужно, чтобы направление было именно из А в начало координат.

[20Katya10]

а,понятно. Значит вот так будет
$\[\operatorname = \left( \begin{gathered} 2 \hfill \\ 1 \hfill \\ \end{gathered} \right)\]$$\cdot \frac {1} {\sqrt{5}}$

[ShMaxG]

Так, правильно. Это направление от начала координат до точки А.

[20Katya10]

Теперь скалярное произведение
$\frac {2} {\sqrt{5}}.\cdot\frac {2} {3}+\frac {1} {\sqrt{5}}\cdot \frac {1} {3}=\frac {5} {3\sqrt{5}}$