2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 исследовать функцию на экстремум
Сообщение21.05.2011, 15:15 
$\[z = 5x^2  - 3xy + y^2  + 4\]$;
$x=0$; $y=0$; $x+y=2$
Вот мое решение:
Найдем стационарные точки:
$\begin{gathered}
  \left\{ \begin{gathered}
  \frac{{dz}}
{{dx}} = 10x - 3y \hfill \\
  \frac{{dz}}
{{dy}} =  - 3x + 2y \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  10x - 3y = 0 \hfill \\
   - 3x + 2y = 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  20x - 6y = 0 \hfill \\
   - 9x + 6y = 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow  \hfill \\
   \Leftrightarrow 20x - 9x = 0 \Leftrightarrow 11x = 0 \Leftrightarrow x = 0 \hfill \\ 
\end{gathered}$ и y=o

Только теперь я не могу понять что делать нужно..
И зачем тогда вот это условие: x+y=2
Помогите разобраться, пожалуйста.
Заранее благодарю.

 
 
 
 Re: исследовать функцию на экстремум
Сообщение21.05.2011, 17:27 
post369424.html?hilit=#p369424 посмотрите здесь. Видимо Вам нужно найти экстремум в области ограниченной заданными прямыми.

 
 
 
 Re: исследовать функцию на экстремум
Сообщение21.05.2011, 19:22 
Аватара пользователя
all в сообщении #448350 писал(а):
$\[z = 5x^2 - 3xy + y^2 + 4\]$; x=0; y=0; x+y=2

А есть ли допустимые точки?

 
 
 
 Re: исследовать функцию на экстремум
Сообщение21.05.2011, 21:29 
x=0 и y=0

 
 
 
 Re: исследовать функцию на экстремум
Сообщение21.05.2011, 22:57 
Аватара пользователя
Проверьте, правильно ли переписали условие.

 
 
 
 Re: исследовать функцию на экстремум
Сообщение22.05.2011, 00:05 
В том то и дело, что задание так написано.. Опечатка наверное..

 
 
 
 Re: исследовать функцию на экстремум
Сообщение22.05.2011, 00:06 
Аватара пользователя
А что такого? Поверхность хорошая и один экстремум сразу виден. А второй тоже без особых хлопот находится.
Что по целому треугольнику, что только по границе.

 
 
 
 Re: исследовать функцию на экстремум
Сообщение22.05.2011, 00:10 
Пытаюсь другой вариант решить - тоже не понимаю что делать..
$z = x^2  + 2y^2  + 4$; $x^2  + y^2  = 1$
Это с помощью Лагранжа нужно делать?
Хотя задание звучит так: Функция для исследование на экстремум.

 
 
 
 Re: исследовать функцию на экстремум
Сообщение22.05.2011, 00:12 
Аватара пользователя
Это уже с помощью Лагранжа. Условный экстремум.

 
 
 
 Re: исследовать функцию на экстремум
Сообщение22.05.2011, 00:27 
Спасибо:)

 
 
 
 Re: исследовать функцию на экстремум
Сообщение23.05.2011, 21:54 
$z = x^2  + 2y^2  + 4$; $x^2  + y^2  = 1$

Найдем точки экстремумы функции:
$\begin{gathered}
  \left\{ \begin{gathered}
  \frac{{\partial z}}
{{dx}} = 2x \hfill \\
  \frac{{\partial z}}
{{dy}} = 4y \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow x = 0;y = 0 \hfill \\
   \hfill \\
  M\left( {0;0} \right) \hfill \\
  \left\{ \begin{gathered}
  \frac{{\partial ^2 z}}
{{dx^2 }} = 2 \hfill \\
  \frac{{\partial ^2 z}}
{{dy^2 }} = 4 \hfill \\
  \frac{{\partial ^2 z}}
{{dxy}} = 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \hfill \\
  D = AC - B^2  = 2 \cdot 4 - 0 = 8 > 0 \hfill \\
  A > 0 \hfill \\ 
\end{gathered} $

Следовательно, точка М(0;0) минимума.

$\begin{gathered}
  L = x^2  + 2y^2  + 4 + \lambda f = x^2  + 2y^2  + 4 + \lambda \left( {x^2  + y^2  - 1} \right) \hfill \\
  \left\{ \begin{gathered}
  \frac{{\partial L}}
{{\partial x}} = 2x + 2\lambda x \hfill \\
  \frac{{\partial L}}
{{\partial y}} = 4y + 2\lambda y \hfill \\
  \frac{{\partial L}}
{{\partial xy}} = x^2  + y^2  - 1 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \hfill \\
  \left\{ \begin{gathered}
  2x + 2\lambda x = 0 \hfill \\
  4y + 2\lambda y = 0 \hfill \\
  x^2  + y^2  - 1 = 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \hfill \\ 
\end{gathered} $

И вот тупик какой-то.. Что не так я делаю..?

 
 
 
 Re: исследовать функцию на экстремум
Сообщение23.05.2011, 22:06 
Аватара пользователя
Интересно, что экстремум достигается на собственных векторах матрицы квадратичной формы.

 
 
 
 Re: исследовать функцию на экстремум
Сообщение23.05.2011, 22:07 
И такое может быть?..Просто обычно такие задания типовые и я их быстро решаю, а здесь..

 
 
 
 Re: исследовать функцию на экстремум
Сообщение23.05.2011, 22:15 
Аватара пользователя
Искать особые точки самой функции ни к чему. Ваша точка не принадлежит окружности, описываемой уравнением связи.

А вот последняя система имеет 4 решения.
Чего Вы испугались? Разложите первые два на множители.
Вот одно:
$x=0; y=1; \lambda=-2$
Нам нужны только икс и игрек.

Вообще полезно и представить то, что Вы ищете. В пересечении параболоида и цилиндра — некая кривая, похожая на изогнутую окружность. Нам нужно найти максимальные и минимальные по зед точки на этой кривой.

 
 
 
 Re: исследовать функцию на экстремум
Сообщение23.05.2011, 22:23 
Я что-то не пойму - как Вы нашли эти значения.
Как последнюю мою систему решить, если 3 переменных. Обычно я просто от λ избавлялась, домножая на одно число и вычитая. А здесь - x и у:(

 
 
 [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group