Большая теорема Ферма. Доказательство.

[VALERI2]

Здравствуйте!
Предлагаю Вашему вниманию доказательство Большой теоремы Ферма.
Рассмотрим уравнение:
$x+y=z+k_1$ (1)
Возведём обе части этого уравнения поочерёдно во 2, 3,…i-ю степень
и запишем результаты в виде:
$x^2+y^2=z^2+k_2$
$x^3+y^3=z^3+k_3$ (2)
................................
$x^i+y^i=z^i+k_i$
и т.д.
Данные представления справедливы для любых положительных целых чисел.
Большая теорема Ферма утверждает, что не существует отличных от 0 целых чисел x,y,z, для которых :
$x^n+y^n=z^n$ (3)
где $n>2$.Нетрудно заметить, что (3) – это одно из уравнений (2) при
$k_n=0$.
Прежде чем представить доказательство при $n=3$, рассмотрим сначала случай $n=2$, т.к. при
доказательстве мы будем использовать формулы общего решения уравнения
$x^2+y^2=z^2$. (4)
Для любого примитивного (состоящего из попарно взаимно простых чисел) решения
x,y,z уравнения (4) хотя бы одно из чисел x или y чётно. Действительно, если х и y нечётны, то
$x^2+y^2$ имеет вид
${4 r+2}$ и потому не может быть равно квадрату $z^2$ никакого целого числа (ибо каждый квадрат
$z^2$ имеет вид либо ${4 r}$ ,либо ${4 r+1}$.
Пусть y – чётно.
Известно, что для любых взаимно простых целых чисел M и $N<M$ разной чётности формулы:
$x=M^2-N^2$ (5)
$y=2 M N$ (6)
$z=M^2+N^2$ (7)
представляют состоящее из положительных чисел примитивное решение уравнения (4) с чётным y.
Обратно, любое состоящее из положительных чисел примитивное решение x,y,z уравнения (4), для
которого y чётно, выражается формулами (5)-(7), где M и $N<M$ - взаимно простые числа разной чётности.
Для любого примитивного решения x,y,z уравнения (4) обязательно найдётся такое $k_1$, что
$x+y=z+k_1$ (8)
При возведении обеих частей уравнения (8) поочерёдно во 2, 3,…i-ю степень получим
уравнения (2) , где $k_2=0$.
Таким образом, для каждой тройки попарно взаимно простых чисел x,y,z , удовлетворяющих
уравнению (4), обязательно найдётся $k_i$ ($i=1,3, 5 ...$), что:
$x+y=z+k_1$
$x^2+y^2=z^2$ ; $k_2=0$ (9)
$x^3+y^3=z^3+k_3$
.........................
$x^i+y^i=z^i+k_i$
и т.д.
Перейдём к доказательству теоремы Ферма при $n=3$:
$x^3+y^3=z^3$ (10)
Только одно из чисел x , y , z может быть чётным. Без ограничения общности мы можем считать, что чётно число у.

Представим (10) в виде:
$(x\sqrt x)^2+(y\sqrt y)^2=(z\sqrt z)^2$ (11)
Обязательно найдётся такой ${k_2^/}$, что:
$x\sqrt x+y\sqrt y=z\sqrt z+{k_2^/}$ (12)
Возведём обе части уравнения (12) в квадрат:
$(x\sqrt x+y\sqrt y)^2=(z\sqrt z+{k_2^/})^2$ (13)
$x^3+y^3=z^3+{2 z {k_2^/}\sqrt z}+{k_2^/}^2-2 x y \sqrt x y$ (14)
При выполнении условия (10)
${2 z {k_2^/}\sqrt z}+{k_2^/}^2-2 x y \sqrt x y =0$ (15)
Таким образом, числа x, y, z не могут быть иррациональными, т.е.
$\sqrt x=x_1$
$\sqrt y=y_1$ (16)
$\sqrt z=z_1$
Из (11) :
$({x_1^3})^2+({y_1^3})^2=({z_1^3})^2$ (17)
Это уравнение второй степени. По аналогии с (4) - (7) :
${x_1^3}=M^2-N^2$ (18)
${y_1^3}=2 M N$ (19)
${z_1^3}=M^2+N^2$ (20)

Т.к. M и N взаимно простые числа разной чётности, то примем
$M=N+1$ (21)
Из (17):
${x_1^3}=M+N$ (22)
Рассмотрим выражение:
${y_1^3}+{z_1^3} =(M+N)^2$ (23)
С учётом (22):
${y_1^3}+{z_1^3} =(x_1^3)^2=x^3$ (24)
${y_1^3}+{z_1^3} =z^3-y^3$ (25)
${y_1^3}+y^3 =z^3-{z_1^3}$ (26)
${y_1^3}+{y_1^6} ={z_1^6}-{z_1^3}$ (27)
${y_1^3} ({y_1^3}+1)={z_1^3}({z_1^3}-1)$ (28)
Т.к. , $z_1$ и $y_1$ взаимно простые, то
${z_1^3}-1={y_1^3}$ (29)
Уравнение (29) не имеет решения, поэтому уравнение (10) также не имеет решения при выполнении условия (21).
Так как ЛЮБОЕ состоящее из положительных чисел примитивное решение уравнения (17), для которого y чётно,
выражается формулами (18)-(20), где M и $N<M$- взаимно простые числа разной чётности, то при выполнении
условия (21) должно выполняться исходное предположение (10). В итоге получено противоречие, и значит, исходное
предположение (10) неверно. Т.е. уравнение (10) не имеет целочисленного решения, и теорема Ферма верна для $n=3$.
Вышеизложенные рассуждения справедливы для любого простого n, поэтому и теорема Ферма справедлива для всех простых n.

Рассмотрим уравнение:
$x^6+y^6=z^6$ (30)
Представим его в виде:
$({x^3})^2+({y^3})^2=({z^3})^2$ (31)
Это квадратное уравнение и ЛЮБОЕ примитивное решение этого уравнения выражается формулами:
${x^3}=M^2-N^2$
${y^3}=2 M N$ (32)
${z^3}=M^2+N^2$
Где M и $N<M$ - взаимно простые числа разной чётности.
Поэтому положим:
$M=N+1$ (33)
Тогда:
${x^3}=M+N$ (34)
${y^3}+{z^3} =(M+N)^2$ (35)
${y^3}+{z^3} =(x^3)^2=x^3=z^6-y^6$ (36)
${y^3}+{y^6} ={z^6}-{z^3}$ (37)
${y^3} ({y^3}+1)={z^3}({z^3}-1)$ (38)
${z^3}-1={y^3}$ (39)
Уравнение (39) не имеет целочисленного решения , поэтому можно сказать, что для $n=6$
теорема Ферма верна.
Аналогичны рассуждения для любого чётного n.
Можно считать большую теорему Ферма доказанной.

[AKM]

По правилам этого раздела, "любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3" (см. их вверху страницы, не этой, карантинной, а той, БТФ-ной) .
Используйте кнопку для редактирования своего сообщения.

Тема перемещена из раздела "БТФ" в карантин.
Как исправите - пишите сюда, чтобы тему вернули.

-- 19 май 2011, 23:24 --

Неплохо бы начать с формулировки теоремы, чтобы читатель знал, что $x,y,z$ в уравнениях (1), (2), — это они и есть... А не какие-нибудь там $a,b,c$.

[Toucan]

Вернул.

[Алексей К.]

VALERI2 в сообщении #447668 писал(а):

Возведём обе части уравнения (12) в квадрат:
$(x\sqrt x+y\sqrt y)^2=(z\sqrt z+{k_2^/})^2$ (13)
$x^3+y^3=z^3+{2 z {k_2^/}\sqrt z}+{k_2^/}^2-2 x y \sqrt x y$ (14)

Это совершенно неверно. Школьная математика. Правильный вывод был бы

$$x^3+y^3=z^3+{2 z {k_2^/}\sqrt z}+{k_2^/}^2-2 x y \sqrt{ x y}.\quad\eqno(14)$$

Соответственно, дальше читать неинтересно.

[migmit]

VALERI2 в сообщении #447668 писал(а):

Т.к. M и N взаимно простые числа разной чётности

С этого момента началась фигня.

Именно, это верно только в том случае, если вы каким-то образом докажете, что $x_1$, $y_1$ и $z_1$ – целые числа. У вас это даже нигде не сформулировано, не говоря уж о том, чтобы доказать.

[VALERI2]

Уважаемый migmit!
Я показал, что x,y,z не могут быть иррациональными. Рассуждаем дальше.
Известно, что если корень n-й степени из x не является целым числом, то
этот корень не может быть и рациональной дробью.
Таким образом, справедливы уравнения (16).

[ananova]

Вопрос по пункту (15). Из него действительно следует, что корни x, y, z не могут быть иррациональными? Можете поподробней этот вывод обосновать?

[VALERI2]

В случае иррациональности левая часть уравнения (15) нулю точно равна быть не может

[Коровьев]

VALERI2 в сообщении #452433 писал(а):

В случае иррациональности левая часть уравнения (15) нулю точно равна быть не может

Странно, у меня $x,y,z$ иррациональные, а левая часть уравнения (15) получилась точно равной нулю.

$k = 4 $

$ z = \sqrt[3]{{3^2 }} $

$ x = \sqrt[3]{{2^2 }} $

$ y = \sqrt[3]{{10^2 }} $

$ k^2 + 2kz\sqrt z - 2xy\sqrt {xy} = 16 + 8 \cdot 3 - 2\cdot 20 = 0 $

[VALERI2]

Здравствуйте!
Прошу прощения за оговорку:в (15) и в ответе migmit надо читать: "корни из x,y,z не могут быть иррациональными"

[VALERI2]

Здравствуйте!
Прошу прощения за опечатку в формуле (36): степень х (четвёртый член), конечно же 6

[shwedka]

VALERI2 в сообщении #452337 писал(а):

Я показал, что x,y,z не могут быть иррациональными.

Конечно, речь идет о корнях. Но Вы это не показали. Только провозгласили. Доказательство отсутствует. Если Вы со мною не согласны, процитируйте это доказательство.

[lasta]

В формуле (12) $k_2$ может быть иррационально, поэтому утверждение о целых числах не доказано

[Гаджимурат]

VALERI2 в сообщении #447668 писал(а):

Возведём обе части уравнения (12) в квадрат

А дальше и смотреть не обязательно,потому что уравнение (12) ни как нельзя получить из ур-ния (11). Правильно было бы так написать $x+y=z+k_3$,где $k_3^3=3(z-x)(z-y)(x+y)$ или приняв, $z-x=n , z-y=n_1 , x+y=C$ ,имеем $k_3^3=3nn_1C$ и пусть
$3n=a^3 , n_1=b^3 , C=c^3$,тогда $k_3=abc$ и
$x=abc+b^3$
$y=abc+a^3/3$
$z=abc+b^3+a^3/3$
$c^3=2abc+b^3+a^3/3$,здесь случай,когда $y$ делится на $3$.
Дерзайте дальше.

[Алексей К.]

Гаджимурат в сообщении #482864 писал(а):

А дальше и смотреть не обязательно,потому что уравнение (12) ни как нельзя получить из ур-ния (11).

А автор и не получает одно из другого. В (12) он просто определяет мудрёно обзначенную дополнительную переменную $k_2'$. Типичное ферматическое действо --- наопределять всяких комбинаций из переменных, дабы запутаться и запутать читателя. Ежели бы он повсюду вместо $k_2'$ нелениво писал $(x\sqrt x+y\sqrt y-z\sqrt z)$, вместо ${k_2'}^2$, соответственно, $(x\sqrt x+y\sqrt y-z\sqrt z)^2$, он бы, возможно, раньше понял, какой ерундой занимается.

Такой же ерундой занимаетесь и Вы:

Гаджимурат в сообщении #482864 писал(а):

Правильно было бы так написать $x+y=z+k_3$,где $k_3^3=3(z-x)(z-y)(x+y)$ или приняв, $z-x=n , z-y=n_1 , x+y=C$ ,имеем $k_3^3=3nn_1C$

Умные, математичные слова "приняв", "имеем"... А что мы здесь "имеем"? А "имеем" мы здесь

$$3(z-x)(z-y)(x+y)=3\cdot(z-x)\cdot(z-y)\cdot(x+y).$$

И не более того. Ну, я точечек наставил, чтоб не совсем было бестолковое "имение".