Трином n^2+7n+53 и простое число

[Xenia1996]

На какое наименьшее простое число может делиться трином $n^2+7n+53$ при некотором целом (не обязательно натуральном) $n$?
Ответ обосновать.

[nnosipov]

Xenia1996 в сообщении #443616 писал(а):

На какое наименьшее простое число может делиться трином $n^2+7n+53$ при некотором целом (не обязательно натуральном) $n$?
Ответ обосновать.

Трином --- это забавно Ксения, а Вы знаете, насколько у Вашего тринома шикарный дискриминант? Мне вспомнилась по этому поводу такая задача (из народной коллекции вступительных задач в аспирантуру): доказать, что число $e^{\pi\sqrt{163}}$ (не поверите, но это так ) --- целое.

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #443617 писал(а):

Трином --- это забавно Ксения, а Вы знаете, насколько у Вашего тринома шикарный дискриминант? Мне вспомнилась по этому поводу такая задача (из народной коллекции вступительных задач в аспирантуру): доказать, что число $e^{\pi\sqrt{163}}$ (не поверите, но это так ) --- целое.

Давайте по порядку.
Дискриминант равен $-163$.
Но Ваше число такое же целое, как я - Алла Пугачёва.

[nnosipov]

Xenia1996 в сообщении #443619 писал(а):

nnosipov в сообщении #443617 писал(а):

Трином --- это забавно Ксения, а Вы знаете, насколько у Вашего тринома шикарный дискриминант? Мне вспомнилась по этому поводу такая задача (из народной коллекции вступительных задач в аспирантуру): доказать, что число $e^{\pi\sqrt{163}}$ (не поверите, но это так ) --- целое.

Давайте по порядку.
Дискриминант равен $-163$.
Но Ваше число такое же целое, как я - Алла Пугачёва.

Неправда, оно равно $262537412640768744$. Ну, почти (это почти очень-очень мало, $10^{-12}$ кажется). И это неспроста. Вот такое вот чудо природы (Рамануджан открыл). А про $-163$, если будет интересно, попозже могу рассказать.

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #443622 писал(а):

Ну, почти (это почти очень-очень мало, $10^{-12}$ кажется).

(Оффтоп)

Почти - это как? Почти инфаркт или почти газы?

http://www.google.co.il/search?q=%22%D0 ... mages&tbs=

[nnosipov]

Xenia1996 в сообщении #443624 писал(а):

(Оффтоп)

Почти - это как? Почти инфаркт или почти газы?
http://www.google.co.il/search?q=%22%D0 ... mages&tbs=

(Оффтоп)

Почти --- это вот так $262537412640768743.99999999999925\ldots$

Кстати, у Эйлера было $n^2+n+41$. И результат можно получить без вычислений (но опираясь на тот факт, что кольцо целых чисел поля $\matbb{Q}(\sqrt{-163})$ факториально).

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #443622 писал(а):

А про $-163$, если будет интересно, попозже могу рассказать.

Интересно так, что аж искры из глаз. Только давайте отдельную тему для этого откроем, ок?

[nnosipov]

Xenia1996 в сообщении #443632 писал(а):

nnosipov в сообщении #443622 писал(а):

А про $-163$, если будет интересно, попозже могу рассказать.

Интересно так, что аж искры из глаз. Только давайте отдельную тему для этого откроем, ок?

Можно и здесь, ведь ровно об этом и речь. Но мне нужно некоторое время, чтобы отыскать файл с соответствующим материалом.

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #443634 писал(а):

Можно и здесь, ведь ровно об этом и речь. Но мне нужно некоторое время, чтобы отыскать файл с соответствующим материалом.

Ладушки, ждём-с.

(Оффтоп)

Жду ответа, как соловей лета.

[nnosipov]

Ну вот, кажется, вспомнил. Будем рассматривать числа вида $\alpha=a+b\omega$, где $a$, $b$ --- целые числа, а $\omega=(1+\sqrt{-163})/2$. Оказывается, для этих чисел можно построить арифметику, сходную по свойствам с арифметикой целых чисел. В частности, здесь будет справедлива основная теорема арифметики --- о единственности разложения в произведение простых чисел (число $\alpha$ указанного вида называется простым, если оно не представимо в виде произведения $\alpha_1\alpha_2$ чисел такого же вида, где каждое $\alpha_i$ отлично от $\pm 1$). В это утверждение придется поверить, поскольку доказательство очень не школьное (и элементарного доказательства скорее всего нет). Так вот, утверждение Эйлера (о том, что при $x=0,1,\dots,39$ трёхчлен $x^2+x+41$ принимает простые значения) сводится к следующему: число $\alpha=x+\omega$ будет простым при указанных значениях $x$. Доказывается это в лоб: пусть $x+\omega=(a+b\omega)(c+d\omega)$, тогда

$$ \left\{ \begin{array}{l} (2a+b)d+b(2c+d)=2,\\ (2a+b)(2c+d)-163bd=4x+2. \end{array} \right. $$

Анализируя эту систему равенств, легко обнаружить, что $b=0$ или $d=0$. Следовательно, число $x+\omega$ имеет только тривиальное разложение.

Пару слов о том, почему $-163$ и не больше. Оказывается, больше не бывает. То есть если $-163$ заменить чем-то отрицательным и большим по абсолютной величине, то будет потеряно свойство однозначного разложения на простые сомножители (ещё более сложная теорема, доказанная где-то в середине 20-го века). Вот поэтому Эйлер и не нашёл ничего более интересного, чем $x^2+x+41$.

Ксения, теперь давайте Ваше рассуждение. Мне очень любопытно, как Вы сократили перебор.

[ИСН]

Эти числа, которые вот как 163, меня убивают. (Там их ещё несколько штук, но остальные меньше.) Я бы понял, будь их бесконечно много, и у каждого следующего пи-на-корень всё ближе к целому. Или будь их парочка среди первых простых. Или не будь их совсем. Но так! Почему? Откуда это? Что же, раз так, теперь всё можно? Режь, убивай, души гусей?

[Руст]

$n^2+7n+53=(n+3)^2+(n+3)+41.$

[nnosipov]

ИСН в сообщении #443657 писал(а):

Эти числа, которые вот как 163, меня убивают. (Там их ещё несколько штук, но остальные меньше.) Я бы понял, будь их бесконечно много, и у каждого следующего пи-на-корень всё ближе к целому. Или будь их парочка среди первых простых. Или не будь их совсем. Но так! Почему? Откуда это? Что же, раз так, теперь всё можно? Режь, убивай, души гусей?

Я же говорю, загадка природы. Как это Рамануджан увидел? Сколько гусей ему пришлось порешить ради вот этого, например:

$$ \left\{\frac{\ln{640320}}{\sqrt{163}}-\frac{\pi}{3}\right\}=0.99999999999999992\ldots $$

[Sonic86]

nnosipov писал(а):

То есть если $-163$ заменить чем-то отрицательным и большим по абсолютной величине, то будет потеряно свойство однозначного разложения на простые сомножители (ещё более сложная теорема, доказанная где-то в середине 20-го века).

Бухштаб с переделкой писал(а):

Доказано, что при $-500 000 000 < \Delta < -163$ числа $a+b\sqrt{\Delta}$ не обладают однозначным разложением на множители, а при $\Delta > -500 000 000$ существует самое большее одно такое $\Delta$ (Хейльбронн, Линфут, Лемер)

маленько дополнил

[Руст]

У Бухштаб а старые данные. Уже доказано.