Помогите с решением ДУ 2го порядка(свои вычисления прилагаю)

[Kobe]

1.y''=1/sin^{2}(2x); y(\pi/4)=(\pi/4); y'(\pi/4)=1;
Мои вычисления для примера 1
2.y''=y'+x
Мои вычисления для примера 2
3.2yy''-(y')^{2}=1; y(0)=2; y'(0)=1;
Мои вычисления для примера 3. Лист 1
Мои вычисления для примера 3. Лист 2

[gris]

В первом намудрили с константами. Нашли, что $C_1=1$, подставили и забудьте. Зачем дальше её тащить? Только ошибки плодить. Логарифм 1 равен нулю.

Во втором такая замена $p(y)=y'$не годится, ибо в уравнении есть $x$. Это линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Если ещё не проходили, то просто линейное при замене $z(x)=y'(x)$.

В третьем начали правильно, но далее не Бернулли, а разделяющиеся переменные и очень хорошо интегрирующиеся функции.

[Kobe]

Первое подправил. Общее уравнение получилось y=-1/4ln|sin{2x}|+x+C2 и C1=1, C2=0.

С постоянным коэффициентами вот только-только прошли. Попробовал решить: вот что получилось. По-моему я напортачил где-то, не даётся уравнение

[gris]

Вообще-то это уравнение "со специальной правой частью" в виде многочлена и обычно всегда в курсе дают готовыее решения. Я не люблю вариации постоянных, поэтому это уравнение привёл бы к виду $z'-z=x$ и решал бы как линейное.

[Kobe]

Перерешил третье уравнение. По-моему опять какая-то фигня получается. Вот.

Никак не получается решить второе уравнение

И еще вопрос, первое уравнение правильно решено у меня?

[gris]

Первое правильно. Во втором Вы просто немного запутались. Правильно нашли общее решение однородного. $y=C_1\cdot e^x+C_2$, а теперь давайте неоднородное. Собственно, его так и надо решать: $y'=C(x)\cdot e^x$.
Подставив, получим $C'e^x=x$, откуда $C=-xe^{-x}+e^{-x}+C_3$.(надо проверить).
Умножаем на $e^x$, ещё раз интегрируем и подставляем начальные условия.


В третьем уравнении правильно до $\dfrac {2p\,dp}{1+p^2}=\dfrac {dy}{y}$.
Вначале (когда по Бернулли, но там громоздко, что вызвало ошибку) Вы почти правильно интегрировали подобное. $2p$ заносится в дифференциал и получается логарифм. Но и справа логарифм. В итоге получим $1+p^2=Cy$. Подставляем начальные условия и снова интегрируем для нахождения $y$.

[Kobe]

Спасибо, со вторым разобрался, всё получилось, проверил.

Пробую третье

[gris]

Кстати, определитесь не только с константой, но и со знаком для $p$. До подстановки НУ там $\pm$ перед корнем. Это нельзя опускать. Ну и Вы неправильно интегрируете $\int \dfrac{dy}{\sqrt{y-1}}$. Никакого логарифма там нет. Это степенная функция с показателем $-1/2$.

*** Ну да, это я смотрю в Ваш второй лист из первого сообщения. Предугадываю

[Kobe]

gris в сообщении #443144 писал(а):

Кстати, определитесь не только с константой, но и со знаком для $p$. До подстановки НУ там $\pm$ перед корнем. Это нельзя опускать. Ну и Вы неправильно интегрируете $\int \dfrac{dy}{\sqrt{y-1}}$. Никакого логарифма там нет. Это степенная функция с показателем $-1/2$.

Ээээ, а откуда взялось выражение $\int \dfrac{dy}{\sqrt{y-1}}$?
Я допустил ошибку там не правильно проинтегрировав $\int \dfrac{dy}{y}$

-- Сб май 07, 2011 20:48:18 --

А, всё, понял откуда взялся тот интеграл, я до него не дошел из-за ошибки интегрировании, указанной выше

-- Сб май 07, 2011 20:56:08 --

Готово! Решил, константы получились C1=0, C2=2. А в конце вот такое уравнение получилось 2{\sqrt{y-1}}=x+C2 Правильно?:)

[Kobe]

Ой, нет, С1=1

В общем, вот вычисления, продолжение

[Tlalok]

Выразите явно функцию $y(x)$.

[Kobe]

Выразил
$y=(x+C2)^{2}/4+1$

[Tlalok]

а почему $ -1$?

[Kobe]

Поправил

[Tlalok]

Осталось заменить $C_2$ на конкретное число и раскрыть скобки.