Отображение с заданным свойством

[Xenia1996]

Существует ли отображение $f \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ такое, что образ любого множества из 2011 элементов содержит чётное число элементов?

Начну с того, что я толком не поняла, чем отображение отличается от функции. Поэтому в дальнейшем буду употреблять термин "функция".

Если функция принимает более 2010 различных значений, то можно выбрать 2011 аргументов, для которых функция будет принимать попарно различные значения, но тогда условие задачи нарушается.
Посему, значений не более 2010.

Если какое-нибудь значение соответствует более, чем 2010 аргументам, то можно выбрать 2011 аргументов, значения которых равны одному и тому же числу, и опять условие задачи нарушается.
Стало быть, значений не более 2010, и каждое из них могут принимать не более 2010 аргументов, значит, всего аргументов не более $2010^2$, но натуральных чисел бесконечно много. Противоречие.

У меня два вопроса.

1. Где брешь в моём доказательстве?
2. Чем же всё-таки функция отличается от отображения?

Заранее благодарна!

[nnosipov]

2. Словом "функция" называют отображение, область значений которого имеют числовую природу (т.е. состоит из чисел --- обычно вещественных или комплексных, но не обязательно). Поэтому в Вашем примере отображение можно назвать функцией. Другое дело, что термин "отображение" здесь более уместен, поскольку речь идёт об образах подмножеств. При делании это отображение можно было бы назвать и "последовательностью", так как его областью определения является множество всех натуральных чисел. Но в данном контексте вряд ли это разумно.

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #441718 писал(а):

2. Словом "функция" называют отображение, область значений которого имеют числовую природу (т.е. состоит из чисел --- обычно вещественных или комплексных, но не обязательно). Поэтому в Вашем примере отображение можно назвать функцией. Другое дело, что термин "отображение" здесь более уместен, поскольку речь идёт об образах подмножеств. При делании это отображение можно было бы назвать и "последовательностью", так как его областью определения является множество всех натуральных чисел. Но в данном контексте вряд ли это разумно.

За пояснение - спасибо!
А вот ошибку Вы найти не смогли.
А вот тут думают, что нашли:
http://www.mathforum.ru/forum/read/1/36913/