Странная задача о шарике в циллиндре.

[Munin]

Просто помню :-( Я ж с самого начала сказал...

[Morkonwen]

Ну качественно зачастую можно и без вычислений - но с обоснованиями=) В общем завтра напишу решение и ответ

[Morkonwen]

Поскольку я сам воспользовался указанием приведенным выше, то решение получилось ровно тоже, что и в задачнике. Его и цитирую.

Напомню стандартный метод. Записываем все силы действующие на шарик в уравнении для движения центра масс. В эти силы входит и силы реакции.
Записываем все моменты относительно центра масс в уравнение изменения момента импульса тела.
И, наконец записываем уравнения связи.


Для центра масс
$m \vec{V}'=m\vec{g}+\vec{f}$
Тут $\vec{V}'$ - производная вектора скорости.
$\vec{f}$ - сила сцепления , которая приложена к точке касания и не дает ей иметь скорость.

Дальше для момента импульса. Поскольку тело - однородный шар, то тензор инерции переходит просто в число.
$I \vec{\Omega}'=[\vec{a}\times \vec{f}]$
Здесь $\vec{a}$ - вектор идущий от центра шарика к точке касания. численно равен радиусу.

И наконец уравнение связи.
$\vec{V}+[\vec{\Omega}\times\vec{a}]=0$
Уравнение означает, что скорость точки касания всегда равна нулю.

Теперь используем вращающуюся систему координат связанную с ЦМ. Мы будем использовать циллиндрическую систему координат с осью Z сонаправленной с осью циллиндра.
Координаты шарика $(r,\phi,z) $при этом $\phi'=\frac{V_\phi}{r}$
В случае вращающийся СК обычные векторы проецируются на нее как векторы, а вот производные векторов - нет, поскольку вместе с вектором меняется и ось, на которую он проецируется. Тогда производная настоящая состоит из двух частей(см. Гольдстейн. темы рядом с углами Эйлера)

$\vec{A}'_x=A_x'+[\vec{\Omega}\,\vec{A}]. $

Получится что
$\vec{A}'_\phi=A_\phi'+\phi'\,A_r$
$\vec{A}'_r=A_r'-\phi'\,A_\phi$

Теперь спроектируем уравнения на эти оси по соответствующему правилу. Получится девять уравнений. Из уравнений
$m (V_\phi'+\phi' V_r)=f_\phi$ Здесь, конечно $V_r=0$
$I \Omega_z'=a f_\phi$
$V_\phi+a \Omega_z=0$

Выйдет, что
$v_\phi=const$
$\Omega_z=\phi'=const$
$f_\phi=0$
то есть центр масс бегает по окружности с постоянной угловой скоростью независимо от вращений шарика и движения по вертикали. и сила касательная к окружности не действует на шарик.

Это отметает версию, что шарик через некоторое время закрутится в другую сторону.

Дальше самое интересное
Из уравнений
$m V_z'=-mg+f_z$
$V_z-a \Omega_\phi=0$
$I(\Omega_\phi'+\phi' \Omega_r)=-a f_z$
$I(\Omega_r'-\phi' \Omega_\phi)=0$

Получим уравнение
$(I+ma^2)\Omega_\phi''+I\phi'^2 \Omega_\phi=0$

Это колебательное уравнение. Следовательно
$\Omega_\phi=C \cos(w t+\alpha)$
$w=\sqrt{\frac{I}{I+ma^2}} \phi'=\sqrt{\frac{2}{7}}\frac{v_\phi}{r}$
$\Omega_r=\frac{-5 g r}{2 a v_\phi}+\sqrt{\frac{7}{2}} C \sin(w t+\alpha)$

и самое главное шокирующее уравнение

$z=z_0-a \frac{C}{w} \sin(w t+\alpha)$

Как видите, вертикальна координата СОВЕРШАЕТ КОЛЕБАНИЕ. То есть как было высказано ранее шарик то опускается, то поднимается! И это находясь в вертикально расположенном циллиндре!

Движение не происходит по эллипсу, поскольку частота колебаний высоты не обязательно совпадает с частотой движения по окружности равной $\frac{V_\phi}{ (b-a)}$

Единственный кто смог сказать мне совершенно правильный ответ без вычислений это была моя подружка, не имеющая к механике вообще никакого отношения.- видимо нужна изрядная доля незашеренности для понимания этой задачи =)))

Так же довольно близок оказался Иван_85

и ,конечно, знающий правильный ответMunin

[Oleg Zubelevich]

Morkonwen
Теперь рассмотрите другую классическую неголономную задачу. Однородный шар движется без проскальзывания по горизонтальной плоскости, горизонтальная плоскость вращается с постоянной скоростью вокруг вертикальной оси. Вам, как человеку умеющему удивляться, эта задача тоже понравится.

[Morkonwen]

Спасибо большое! попробую решить.

[Morkonwen]

Oleg Zubelevich в сообщении #443652 писал(а):

Morkonwen
Теперь рассмотрите другую классическую неголономную задачу. Однородный шар движется без проскальзывания по горизонтальной плоскости, горизонтальная плоскость вращается с постоянной скоростью вокруг вертикальной оси.

У меня получилось, что в общем случае в уравнении координат есть слагаемое растущее со временем экспоненциально(шарик удаляется от центра), что можно ожидать. Это нормально? пробовать его в ноль обратить?

[Oleg Zubelevich]

Точка контакта шарика движется по окружности лежащей на плоскости. Центр окружности и ее радиус определяются начальными данными и параметрами задачи. Решений уходящих на бесконечность нет.

[Oleg Zubelevich]

Виноват, центр шара катится по окружности с точки зрения неподвижного наблюдателя.

[Morkonwen]

ужас какой, сейчас попробую найти ошибку=)

[Morkonwen]

Ох сделал дурацкую ошибку - в одном месте не написал производную, перестану я их когда-нибудь делать =)?

Вот мое решение.


Как всегда выписываем уравнение моментов и для центра масс.
гравитацией интересоваться не будем - ее компенсирует реакция опоры, которой мы тоже не будем интересоваться. повлиять на вращение эти две силы тоже не смогут
$m \vec{R}''=\vec{f}$
Тут $\vec{R}''$ - вторая производная вектора центра масс.
$\vec{f}$ - сила сцепления , которая приложена к точке касания и задает нужную скорость этой точки

$I \vec{\Omega}'=[\vec{a}\times \vec{f}]$
Здесь $\vec{a}$ - вектор идущий от центра шарика к точке касания. численно равен радиусу.

И наконец уравнение связи.
$ \vec{V}+[\vec{\Omega}\times\vec{a}]= [\vec{\Omega_0}\times\vec{R}] $
Уравнение означает, что скорость точки касания будет обусловлена вращением горизонтальной плоскости. $ \Omega_0$ - вектор вращения плоскости

Используем лабораторную декартову систему координат. Плоскость вращается относительно нее.
Как ни странно но в декартовой уравнения проще, чем в циллиндрической, вращающейся! Ось z направлена вертикально вниз.
Получится
$m x''=f_x$(1)
$ m y''=f_y $(2)

$ I \Omega_x'=-a f_y $(3)
$I \Omega_y'=a f_x $(4)

$ \Omega_y a+x'=-\Omega_0 y $(5)
$-\Omega_x a+y'=\Omega_0 x $(6)

из (1)+(4) и (2)+(3)
выйдет после интегрирования

$\Omega_x=-\frac{-a m}{I} y'+C_x$
$ \Omega_y=\frac{-a m}{I} x'+C_y $
C -произвольные постоянные, которые означают какое вращение будет иметь шарик при неподвижном центре масс.

Подставив эти уравнения в (5) (6) выйдет

$K x'=-\Omega_0 (y+\frac{C_y a}{\Omega_0}) $
$K y'=\Omega_0(x+\frac{C_x a}{\Omega_0}) $

Здесь $ K=\frac{a^2 m}{I}+1$
отсюда решением будет
$x=A \cos(w t+\phi_0)-x_0$
$y=A \cos(w t+\phi_0-\frac{\pi}{2}) - y_0$

$ w = \frac{\Omega_0}{K} $

$x_0=\frac{C_x a}{\Omega_0}$

$ y_0=\frac{C_y a}{\Omega_0}$

Действительно движения по окружностям!

А в вашей коллекции есть еще интересные задачи?

[Flooder]

Morkonwen
Не подскажите, из какого сборника вы эту задачу взяли?

[Morkonwen]

Flooder в сообщении #443927 писал(а):

Morkonwen
Не подскажите, из какого сборника вы эту задачу взяли?

Коткин, Сербо сборник по классической механике. Там эта задача считается средней сложности - есть действительно убойные=)

[Flooder]

Morkonwen
Спасибо :)

[Oleg Zubelevich]

Morkonwen
попробуйте теперь такой эффект осознать http://rutube.ru/tracks/747493.html

[Flooder]

Morkonwen

А ещё, такой дурацкий вопрос: а как вы прорабатываете нестандартные задачи?
У меня это большая проблема: со стандартными задачами по какой-то теме вроде всё понятно, а вот как переходишь к задачам повышенной сложности, так затык…