Найти площадь в maple

[kdev]

Помогите:
Даны два четырехмерных вектора, найди площадь образованную этими векторами в Maple
И более общо в N-мерном пространстве

[Yu_K]

А без MAPLE можете найти площадь, которую образуют два вектора?

[kdev]

Не очень, типа
Trace( e[i,j,k,l] * A[i] * B[j] )

[VAL]

kdev в сообщении #439873 писал(а):

Помогите:
Даны два четырехмерных вектора, найди площадь образованную этими векторами в Maple
И более общо в N-мерном пространстве

Что такое "площадь образованная векторами"?
Имеется в виду, площадь образованного с их помощью параллелограмма?
Тогда так и говорите.
А также сообщите какое у Вас пространство. Евклидово? Какой базис? Ортонормированный?

В общем, сформулируйте задачу четче.

[Tlalok]

А может быть и треугольника

[kdev]

Trace там какаято функция Trace(M[i,j]), не Det или Per же писать. Trace(M)=M^2?
Ну да параллелограмма. Евклидово. А Евклидово не отронормированно разве? Cложно столько условий сразу постававить (. И метрика (1,1,1,1) если надо

[kdev]

Только в 2,3 случаях ОК дальше хуже
N-2 не лучше
В общем случае основание на высоту и .

[svv]

kdev, а хотите сами вывести формулу для случая $n$-мерного пространства? Я начну.
Вы правильно написали, что площадь параллелограмма -- это произведение основания на высоту. Параллелограмм построен на векторах $\mathbf a$ и $\mathbf b$. Пусть $\mathbf a$ образует основание. Теперь нужна высота. Ясно, что $\mathbf b$ -- не высота, потому что высота перпендикулярна основанию, а $\mathbf b$ не обязательно. Пусть высоте соответствует некоторый вектор $\mathbf c$. Его можно построить как линейную комбинацию $\mathbf a$ и $\mathbf b$:
$\mathbf c=\lambda \mathbf a + \mu \mathbf b$
Здесь неизвестны $\lambda$ и $\mu$. Я не знаю, как их найти, потому что я не знаю: что такое высота? Каким требованиям должен удовлетворять вектор $\mathbf c$, соответствующий высоте параллелограмма?

[VAL]

kdev в сообщении #439944 писал(а):

Trace там какаято функция Trace(M[i,j]), не Det или Per же писать. Trace(M)=M^2?

Не совсем понимаю, причем тут след. След (trace) есть у линейного оператора, у квадратной матрицы, у элемента поля, рассматриваемого, как расширение другого поля... Как его применить в Вашем случае, не очень понимаю. Тем более, не понимаю, что такое $M$ и причем тут $M^2$.

Цитата:

Ну да параллелограмма. Евклидово. А Евклидово не отронормированно разве? quote]Ортонормированным бывает не пространство, абазис.

Цитата:

Cложно столько условий сразу постававить (. И метрика (1,1,1,1) если надо

И вновь не понимаю, что означает этот забор из единиц. Метрика, это функция двух аргументов со значениями в $\mathbb R$, удовлетворяющая определенным условиям.

-- 29 апр 2011, 20:53 --

kdev в сообщении #440043 писал(а):

В общем случае основание на высоту и .

Если уж у Вас евклидово пространство и, тем более, ортонормированный базис, я бы предпочел считать площадь параллелограмма через произведение смежных сторон на синус угла между ними. Синус легко выражается через косинус, а косинус, через скалярное произведение.

PS: Оформить все это на maple - не проблема. Но обсуждать это, IMHO, лучше в разделе "Околонаучный софт".

[ewert]

Трейс (как и шпур) никакого отношения к делу вообще не имеет. Отношение имеет дет, для соответствующей матрицы Грама. Однако последнее предложение -- тупо посчитать косинусы -- куда практичнее; ну как минимум логически куда проще.

[kdev]

1 Trace ни причем, над было какуюто скал. фуницию M[i,j]
2 В 3-х мерном случае площадь,обьем проще считать через вект.произведение,детерминант
,чем через какието sin,arccos угла
3 В 4-x площадь через угол: S=A*B*sin(arccos(A.B/A*B)),обьем через e[i,j,k,l]*A[i]*B[j]*C[k]
как знак S не знаю
4 и.т.д.

[kdev]

3 В 4-x площадь через угол: S=A*B*sin(arccos(A.B/A*B)) = A*B*sqrt(1-(A.B/A*B)^2) = sqrt((A*B)^2-(A.B)^2)

[VAL]

kdev в сообщении #440191 писал(а):

1 Trace ни причем, над было какуюто скал. фуницию M[i,j]
2 В 3-х мерном случае площадь,обьем проще считать через вект.произведение,детерминант
,чем через какието sin,arccos угла

Какой объем?! У Вас в условии два вектора! Или это была дезинформация? (Площадь параллелограмма в трехмерном случае действительно удобно считать через модуль векторного произведения, объем параллелепипеда - через смешанное произведение трех векторов).

Цитата:

3 В 4-x площадь через угол: S=A*B*sin(arccos(A.B/A*B)),обьем через e[i,j,k,l]*A[i]*B[j]*C[k]

Этой формулы я не понимаю.

Цитата:

4 и.т.д.

Если речь идет об n-мерном объеме, то для него нужны n линейно независимых векторов (а не два). Тогда в пространстве любой размерности объем n-мерного параллелепипеда будет с точностью до знака равен определителю матрицы координат данных векторов (в ортонормированном базисе).
Площадь параллелограмма, натянутого на пару векторов, будет считаться по одной и той же схеме в пространствах любой размерности.

[ewert]

Если в $n$-мерном пространстве заданы $k$ векторов ($k\leqslant n$), то $k$-мерный объём параллелепипеда, построенного по этим векторам, равен квадратному корню из определителя матрицы Грама для этих векторов. Т.е. матрицы, составленной из скалярных произведений всевозможных пар этих векторов. Это -- инвариантная формула, никак не зависящая от выбора базиса, а зависящая лишь от способа задания скалярного произведения (собственно, и само понятие объёма опирается именно на скалярное произведение).

При $k=2$ получается вот как раз формула с косинусами, но в чуть более компактном виде: $V=\sqrt{|\vec a|^2|\vec b|^2-(\vec a,\vec b)^2}$. Независимо от $n$.

При $k=n$ легче, конечно, найти объём как модуль определителя матрицы, составленной из столбцов координат этих векторов в каком-нибудь ортонормированном базисе.

[AKM]

kdev,

исправьте написание формул в соответствии с Правилами.
Здесь рассказано, как набирать формулы (здесь подробнее).
Используйте кнопку для редактирования своих сообщений.

Тема перемещена из "Помогите решить (М)" в карантин.
Как исправите - пишите сюда, чтобы тему вернули.