Наименьшее значение функции (с вышкой и без)

[Xenia1996]

Найти наименьшее значение функции $y=x(x+1)(x+2)(x+3)$

Без вышки я не испытала проблем:
Обозначим $x+\frac{3}{2}$ через $z$. В этом случае наша функция имеет вид $y=(z+\frac{1}{2})(z-\frac{1}{2})(z+\frac{3}{2})(z-\frac{3}{2})=(z^2-\frac{1}{4})(z^2-\frac{9}{4})=z^4-\frac{10}{4}z^2+\frac{9}{16}$

Заметим, что $z^4-\frac{10}{4}z^2+\frac{9}{16}=(z^2-\frac{5}{4})^2-1$

Так как квадрат не может быть меньше нуля, искомое наименьшее значение не может быть меньше $-1$.
И действительно, при $x=\frac{\sqrt5}{2}-\frac{3}{2}$ наша функция равна $-1$.


А с вышкой испытала:
Раскрыла скобки, взяла производную и получила $4x^3+18x^2+22x+6$

И каким макаром её теперь обнулять?

[Хорхе]

Нормальное, годное решение. Зачем еще что-то "обнулять"?

[Xenia1996]

Хорхе в сообщении #439146 писал(а):

Нормальное, годное решение. Зачем еще что-то "обнулять"?

В моём решении я не использовала высшую математику. В данном частном случае это прокатило. А если бы было, скажем, $x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)$?

[Sonic86]

А Вы сделайте аналогичную замену в производной.

[Xenia1996]

Sonic86 в сообщении #439152 писал(а):

А Вы сделайте аналогичную замену в производной.

Не догоняю. Что именно там заменять?

[Sonic86]

Xenia1996 писал(а):

Обозначим $x+\frac{3}{2}$ через $z$.

-- Ср апр 27, 2011 18:55:53 --

Можете заодно в общем виде вычислить $P(x^2)'$ - тоже помогает находить корни.

[Xenia1996]

Обобщим задачку?

$x(x+1)(x+2)\dots (x+2n+1)$
Найти наименьшее значение.

[zhekas]

Xenia1996 в сообщении #439148 писал(а):

Хорхе в сообщении #439146 писал(а):

Нормальное, годное решение. Зачем еще что-то "обнулять"?

В моём решении я не использовала высшую математику. В данном частном случае это прокатило. А если бы было, скажем, $x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)$?

В данном случае тоже удобнее перемножить крест накрест и, перейдя к замене y=x^2+5x,находить наименьшее значение у кубической функции

[Xenia1996]

zhekas в сообщении #439172 писал(а):

В данном случае тоже удобнее перемножить крест накрест и, пейдя кзамене y=x^2+5x,находить наименьшеезначениеукубическойфункции

(Оффтоп)

- Помогитеуменяпробелзапал!
- Настоящие_программисты_пробелами_не_пользуются!

[nnosipov]

Xenia1996 в сообщении #439171 писал(а):

Обобщим задачку?

$x(x+1)(x+2)\dots (x+2n+1)$
Найти наименьшее значение.

Уже при $n=3$ Вы не получите ответ в школьных терминах, а значит, и школьного решения (без производной) не будет. Кстати, минимум достигается в интервале $(0,1)$ --- вот это можно пытаться доказать.

[Dan B-Yallay]

nnosipov писал(а):

минимум достигается в интервале $(0,1)$ --- вот это можно пытаться доказать.

Этот полином равен 0 при $x=0$ и положителен для $x>0$ .

[nnosipov]

Это опечатка. Конечно, интервал $(-1,0)$.

[Dan B-Yallay]

Я так и понял, что опечатка.

[Kallikanzarid]

Необходимое условие локального экстремума функции $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ в точке $x_0$:

$$f'(x_0) = 0$$

. Ищите все точки с нулевой производной, проверяете асимптотику, затем перебор. "Вышкой" это назвать можно лишь с очень большой натяжкой.

[nnosipov]

Kallikanzarid в сообщении #439251 писал(а):

Необходимое условие локального экстремума функции $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ в точке $x_0$:

$$f'(x_0) = 0$$

. Ищите все точки с нулевой производной, проверяете асимптотику, затем перебор. "Вышкой" это назвать можно лишь с очень большой натяжкой.

Если всё так просто, может напишите подробное решение?