Оценка интегральчика

[MaThNeT]

Здравствуйте!
Прошу наводки по такому вот вопросу: как доказать (с чего начать) след. неравенство:
$\frac {1} {\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac {1-cos{^n}x} {x^2} dx > \frac {1} {\pi}\int_{-\frac {1} {\sqrt n}}^{\frac {1} {\sqrt n}} \frac {1-cos{^n}x} {x^2} dx$?

Собственно, возник вопрос: какой заменой можно этого добиться? - или тут надо действовать не заменой?

Нужен хороший такой толчок ...

[Sonic86]

Либо я что-то не понял, либо для неотрицательной $f$ докажите, что $\int\limits_{- \infty}^{+ \infty}fdx > \int\limits_a^bfdx$

[nnosipov]

MaThNeT в сообщении #438869 писал(а):

Здравствуйте!
Прошу наводки по такому вот вопросу: как доказать (с чего начать) след. неравенство:
$\frac {1} {\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac {1-cos{^n}x} {x^2} dx > \frac {1} {\pi}\int_{-\frac {1} {\sqrt n}}^{\frac {1} {\sqrt n}} \frac {1-cos{^n}x} {x^2} dx$?

Собственно, возник вопрос: какой заменой можно этого добиться? - или тут надо действовать не заменой?

Нужен хороший такой толчок ...

Подынтегральная функция всюду положительна ... В чем проблема?

[MaThNeT]

Т.е. для любой положительной функции это выполнено?
Это теорема какая-то есть?

[Sonic86]

Докажите это здесь, это очевидно.

[Joker_vD]

Чем шире вы будете брать границы в интеграле от неотрицательной функции, тем этот интеграл будет... что? Тут достаточно представить картинку.

[MaThNeT]

Нет, геометрически это понятно. А что, разве нельзя это доказать аналитически?

[SpBTimes]

Можно конечно, делается это тривиально.
$\int_{-\infty}^{a} fdx + \int_{a}^{b} fdx + \int_{b}^{\infty} fdx$
$\int_{-\infty}^{a} fdx >0$
$\int_{b}^{\infty} fdx > 0$
значит:
$\int_{-\infty}^{a} fdx + \int_{a}^{b} fdx + \int_{b}^{\infty} fdx > \int_{a}^{b} fdx$

[Dan B-Yallay]

$\alpha\geq 0 \ \Rightarrow \ \forall x: x +\alpha \geq x $
$f \geq 0 \ \Rightarrow \ \forall w: \displaystyle\int_w^{w+\varepsilon}f(t)dt \geq 0$
$\displaystyle\int_0^{a+\varepsilon}f(t)dt = \int _0^a f(t)dt+\int_a^{a+\varepsilon}f(t)dt \geq \int _0^a f(t)dt$

О! Уже опередили..

[MaThNeT]

Спасибо. В принципе, я сам это доказал - и счас увидел, что мне ответили. Спасибо еще раз.

Тут у меня возникла еще одно затруднение, для выхода из которого также нужен толчок. Связано оно с первоначальным интегралом: нужно мне доказать еще одно неравенство. Для удобства выпишу все интегралы:
1) $\int_{-\infty}^{\infty}\frac {1-cos{^n}x} {x^2}dx$
2) $\int_{-\frac {1} {\sqrt n}}^{\frac {1} {\sqrt n}}\frac {1-cos{^n}x} {x^2}dx$
3)$\sqrt n \int_{-1}^{1}\frac {1-e{^{-\frac{y^2}{2}}}} {y^2}dy$

Так вот, я хочу показать, что $1) > 3)$.
Я так понимаю, что, наверное, проще всего доказать, $3) < 2)$, что автоматически приводит меня к тому, что я хочу. И, как я понимаю, надо разложить $cox{^n}x$ по формуле Эйлера по экспоненте. Но вот какую потом замену произвести, чтобы получить $y^2$ и как вообще вылез $\sqrt n$?
Или я что-то недопонял?

[Sonic86]

Для $I_3<I_2$ попробуйте сделать замену $y = x\sqrt{n}$.

[ewert]

Сделайте замену $y=t\sqrt n$. Получится интеграл $\int\limits_{-n^{-1/2}}^{-n^{-1/2}}\dfrac{1-e^{-n\frac{t^2}{2}}}{t^2}\,dt$ (там минус в показателе явно был потерян). И, собственно, останется доказать, что на этом участке $\cos t\leqslant e^{-\frac{t^2}{2}$. Ну это правда.

[MaThNeT]

ewert
Да, минус поставил - сэнкс.
Sonic86 а разве такой заменой перед интеграл не вылезет просто $n$, а не $\sqrt n$?

-- Вс май 01, 2011 16:53:34 --

Sonic86Сорри, неправильно посчитал: хорошая замена, корень вылез.
ewert
Sonic86
Большое спасибо. Очень помогли.