Теплопроводность цилиндра, установившийся режим

[Dmitry80]

Всем привет,

Подскажите формулу для теплопроводности цилиндра (в интернете не нашел):
Цилиндрическая труба из кварцевого стекла, внешний / внутренний радиусы R и r, на внешней границе поддерживается температура T. Как найти температуру на внутренней границе в установившемся режиме?
Очень желательно привести ссылку на литературу, где можно найти эту формулу.

Спасибо, Д.

[Munin]

Функции Бесселя.

[Vince Diesel]

Ну, надо еще какое-нибудь условие на внутренней границе. Без дополнительных предположений ссылки вряд ли найдутся

[Himfizik]

Любой хороший учебник по уравнениям математической физики вам в помощь... Цилиндрическая геометрия очень хорошо разобрана в литературе. Не иначе как "Бесселиться" придется=)). И не забывайте ставить все условия на границах (на температуру, на поток или...)

[Dmitry80]

Я сам по образованию не теплотехник (а математик); может ли кто-то объяснить:

Корректна ли постановка задачи в такой форме:

Кварцевая трубка имеет наружный диаметр 14 мм и внутренний 8 мм, и длинной 1000 мм.
Внутреннюю поверхность кварцевой трубки нужно поддерживать при температурах 900С, 1000С, 1100С.
Теплопередача с наружной стенки на внутреннюю осуществляется исключительно теплопроводностью самого материала трубки - т.е. кварца.

Необходимо рассчитать температуру которой должен соответствовать для указанных температур резистивный нагреватель (нихромовая проволка) намотанный на кварцевую трубку. (соответственно принимаем температуру нагревателя равной температуре наружной стенки кварцевой трубки трубки)

------
как я понимаю, система находится в сосуде с зеркальными стенками с вакуумом; по-видимому, от внутренней поверхности каким-то образом делается отбор тепла, например на плавление какого-либо материала (правильно ли я понимаю, что мощность отбора тепла должна равняться мощности, передаваемой резистивным нагревателем? ведь иначе установившегося режима не будет).

Если система находится в установившемся режиме без отбора тепла от внутренней стороны цилиндра,
1) будет ли температура внутренней чстороны кварцевой трубки равняться температуре внешней стороны?
2) будет ли система разогреваться до плавления проволки?

[Munin]

Если система горячее снаружи, чем внутри, то её внутренность нагреется до той же температуры, а потом все процессы прекратятся. Если при этом горячая температура снаружи поддерживается каким-то нагревателем, то вся его мощность в установившемся режиме будет уходить вовне, чтобы предотвратить остывание, а не на поток тепла внутрь.

[Vince Diesel]

Dmitry80 в сообщении #438848 писал(а):

правильно ли я понимаю, что мощность отбора тепла должна равняться мощности, передаваемой резистивным нагревателем? ведь иначе установившегося режима не будет

Да, если через внешнюю поверхность поток тепла равен нулю.

Dmitry80 в сообщении #438848 писал(а):

Если система находится в установившемся режиме без отбора тепла от внутренней стороны цилиндра,
1) будет ли температура внутренней чстороны кварцевой трубки равняться температуре внешней стороны?

Да, но это уже предполагает (раз внутри оттока нет), что на проволоке никакого тепла не выделяется.

[Dmitry80]

А можно ли как-то решить в такой постановке:

Пусть с внутренней стороны цилиндра (кварцевой трубки с внешним/внутренним диамерами 14/8 мм) температура должна быть не менее 445 Цельсия (кипение серы), и производится теплоотбор мощностью 150 Вт (на испарение серы). Какие условия должны быть на внешней стороне цилиндра (подводимая мощность и температура)? Ну про мощность вроде бы понятно - те же 150 Вт, если пренебречь тепловыми потерями. А как найти температуру?

[Vince Diesel]

Задачу Коши решить, записав лапласиан в полярных координатах и оставив только члены с производной по $r$, с начальными условиями на внутренней стороне: задана температура и ее производная - выражается через поток тепла.

[Munin]

И решение выражается через функции Бесселя...

[GraNiNi]

Dmitry80 в сообщении #439390 писал(а):

производится теплоотбор мощностью 150 Вт

Нужно знать с какого внутреннего объема (длины) трубки снимается эта мощность.

[Dmitry80]

Предположим, что длина (и, следовательно, объем и удельная мощность внутренних источников тепла) известны.
Однако мне все равно не хватает начальных данных (или каких-то зависимостей, которые можно выписать в уравнения).
Вот что мне удалось получить: http://openopt.org/task2, параграф "расчет тепловой" (20 строчек).

[GraNiNi]

Dmitry80 в сообщении #439978 писал(а):

Предположим, что длина (и, следовательно, объем и удельная мощность внутренних источников тепла) известны.

Не источников тепла, а его поглотителей (испарение) - и этого достаточно для расчета.
Обычная теплопередача через цилиндрическую стенку.
Прикинул на коленке: для трубки длиной в 20 см при теплоотводе изнутри в 150 Вт температура снаружи будет примерно на 45° больше.

[Dmitry80]

>Не источников тепла, а его поглотителей

Точная цитата из Лыкова А.В. "Теория теплопроводности" (можно легко найти и скачать в интернете):

Иногда внутри тела имеются источники тепла. Источники тепла могут быть положительными и отрицательными. В качестве примера отрицательного источника тепла можно считать испарение влаги внутри материала при нагревании. Пусть удельная мощность (количество поглощаемого или выделяемого тепла в единицу времени в единице объема тела) этих источников будет равна w(впг/м3).

Ну так как именно надо проводить расчет? Мне нужно отчитаться алгоритмом, а не кем-то "прикинутым" ответом (к тому же, возможно, придется считать его для различных численных значений известных параметров).

[Vince Diesel]

Dmitry80 в сообщении #440045 писал(а):

Иногда внутри тела имеются источники тепла.

А иногда не имеются. Судя по задаче в предыдущих постах, источников в кварце нет. Так что слагаемое без производной в уравнении отсутствует, и общее решение легко получается явно. Как я уже сказал, два условия задаются на внутренней стороне, поток тепла надо пересчитать в производную от температуры. Получится два условия на два параметра в решении и ответ запишется с помощью одного сложения/вычитания и нескольких умножений и делений, без всяких численных методов и сведения к системе первого порядка