Вопрос по условному экстремуму (метод Лагранжа)

[AlexeyM]

Очень прошу помочь разобраться с одним вопросом, я уже совсем запутался... Задача вроде простая: найти условный экстремум функции $z=3y^2+4x^2-xy$ при условии $x+y=0$. Я составил функцию Лагранжа, $F=3y^3+4x^2-xy+k*(x+y)$ и решил систему для определения стационарных точек. В итоге вышло $x_{1}=0; y_{1}=0; k_{1}=0$ или $x_{2}=\frac{10}{9}; y_{2}=-\frac{10}{9}; k_{2}=-10$. Потом попытался применить критерий Сильвестра, однако получил, что:

Т.е., в обеих точках дельта<0 . Получается, что экстремума нет.

Но если просто подставить в функцию $z=3y^2+4x^2-xy$ из уравнения связи $y=-x$ и исследовать на экстремум полученную функцию одной переменной, то оказывается, что экстремум есть, причем в обеих точках. Может, критерий Сильвестра тут применять нельзя?

P.S. про проверку по знаку $d^2F$ я читал, но хотелось бы понять, отчего именно критерий Сильвестра дает сбой... Может, я что-то не так делаю?

[bot]

Вы делаете ту же ошибку, что и laplas_the_best, только у него всё потонуло в технических деталях.
Вы пытаетесь определить знак второго дифференциала функции Лагранжа при независимых дифференциалах $dx$ и $dy$, а они зависимы и зависимость определяется уравнением связи: $dy=-dx$. Вот при наличии этой связи Вы и должны определять знак второго дифференцила функции Лагранжа.

[AlexeyM]

bot в сообщении #436534 писал(а):

Вы пытаетесь определить знак второго дифференциала функции Лагранжа при независимых дифференциалах $dx$ и $dy$, а они зависимы и зависимость определяется уравнением связи: $dy=-dx$. Вот при наличии этой связи Вы и должны определять знак второго дифференцила функции Лагранжа.

Я скачал пару методичек, но там просто были даны формулы, вот такие:


И аналогичные давались для случая $d^2L<0$. Причем в дальнейшем, при решении примера, использовались эти условия без учета уравнения связи. Может, авторы методички неправы? Если Вас не затруднит глянуть ее, то скачивал методичку отсюда: http://window.edu.ru/window_catalog/fil ... 9/1179.pdf.

На странице 15, в окончании примера 10.1, критерий Сильвестра используется без дополнительных условий, просто по вышеприведенным формулам. Но в примере 10.2 уже используют уравнение связи. Я просто не могу понять: если использование уравнения связи перед вычислением знака второго дифференциала есть необходимое условие, почему его не использовали в примере 10.1? Кстати, если в примере 10.2. использовать критерий Сильвестра аналогично примеру 10.1, то дельта станет меньше нуля: у меня появляются сомнения, что это просто подгонка авторов книги под требуемый результат, - мол, когда видим, что критерий Сильвестра даст отрицательный результат, то тихонько впишем другое условие, без объяснения причин.

Сорри за настойчивость, просто хочется разобраться в этом...

[bot]

Вылезайте из танка - это в случае независимости переменных, а они зависимы (связаны уравнением связи) вследствие чего приращения переменных не могут быть произвольными. Приращения переменных можно заменить в исследуемой точке на их дифференциалы, хотя в Вашем линейном случае это одно и тоже.

[AlexeyM]

bot в сообщении #436577 писал(а):

Вылезайте из танка - это в случае независимости переменных, а они зависимы (связаны уравнением связи) вследствие чего приращения переменных не могут быть произвольными. Приращения переменных можно заменить в исследуемой точке на их дифференциалы, хотя в Вашем линейном случае это одно и тоже.

Начинаю вылезать) Насколько я понимаю, если критерий Сильвестра выполнен, это означает, что для всех dx и dy (в том числе и получаемых из уравнения связи) $d^2F>0$ или, соответственно, $d^2F<0$ и никакой дополнительной проверки более не требуется.

Если же критерий Сильвестра для функции Лагранжа не выполнен, это говорит лишь о том, что нужно использовать уравнение связи и искать значение $d^2F$ с учетом функции связи. Верно или не совсем?)

[bot]

Да так, если второй дифференциал имеет определённый знак при произвольных дифференциалах неизвестных, то в частности он будет иметь тот же знак и при связанных, однако расчитывать на это обычно не приходится и вычисления, связанные с проверкой критерия Сильвестра (тем значительнее, чем больше переменных) окажутся пустыми хлопотами. Как правило, проще сначала использовать связь и смотреть знак квадратичной формы уже с меньшим числом переменных - в данном случае всего лишь от одной.

[AlexeyM]

Спасибо, разобрался) Всё оказалось гораздо менее сложным, чем казалось изначально)

[мат-ламер]

Мелкая неточность - у исходной функции $y$ во второй степени. У функции Лагранжа - $y$ в третьей степени.