Задача на построение (перпендикуляр к диаметру, линейкой)

[puma-zay4ik]

Задача.
Из точки лежащей на окружности опустить перпендикуляр на диаметр, пользуясь только линейкой.
Смотрела разные способы решения этой задачи в интернете, но преподаватель говорит, что это всё не то. Если б точка не лежала на окружности, то тогда всё просто: соединяем данную точку с концами диаметра, отмечаем точки пересечение сторон треугольника с окружностью и пользуемся теоремой о трёх высотах. Я приносила решение, что построили две перпендикулярные прямые к диаметру и с помощью параллельного переноса проводим перпендикуляр к диаметру из заданной точки., не верно. Линейкой измерять нельзя, тоже таким образом находила решение. Потом через лучи находила решение, когда построили обратно же две прямые перпендикулярные диаметру и из точки, не лежащую между этими параллельными прямыми, проводим два луча, которые при пересечении с этими прямыми образуют трапецию.Находим точку пересечения двух диагоналей и соединяем её с заданной точкой...честно говоря я это решение так и не поняла, там что-то явно не то. Так что натолкните на мысль чем сможете, я эту задачу уже какой день мучаю...

[TOTAL]

На окружности имеется т. $M.$ Перпендикулярно заданному диаметру постройте хорду $AB.$ Прямая $MA$ пересекает диаметр в т. $Q.$ Прямая $QB$ пересекат окружность в т. $N.$ Прямая $MN$ перпендикулярна заданному диаметру.

[puma-zay4ik]

Спасибо огромное, я к этому шла, но не дошла)))))Ещё раз огромное СПАСИБО!!!!

[puma-zay4ik]

Отдала задачу на проверку, сказали что решение вроде как верное, но преподавательница его примет, если я смогу доказать, что прямая $ MN $ перпендикулярна диаметру. То что хорда перпендикулярна, то это ясно. А как именно грамотно доказать что полученная прямая перпендикулярна? Я думаю что это каким-то образом связано с симметрией относительно точки...

[TOTAL]

puma-zay4ik в сообщении #441228 писал(а):

А как именно грамотно доказать что полученная прямая перпендикулярна? Я думаю что это каким-то образом связано с симметрией относительно точки...

Расскажите своё доказательство преподавателю и получите заслуженную оценку.

[puma-zay4ik]

То решение, которое было написано выше я записала очень даже корректно, всё по шагам расписала, всё понятно. Но она сомневается, что прямая которая в итоге получится будет перпендикулярна диаметру...Я не знаю как это доказать=( По построению у меня сомнений не возникает, а у неё возникают, вроде как и перпендикулярна, а вдруг нет?! Нужно чем-то это обосновать. Как я думаю нужно доказать что хорда параллельна прямой $ MN $. Думала на счёт симметрии, но кое что не выполняется, прямая $ BQ $ не равна прямой $ QN $. Теперь думаю может через подобие треугольников...Воспользоваться первым (Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны) или вторым признаком(Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны). Углы $BQA = MQN$ , как вертикальные. А как дальше? Воспользоваться пропорциональностью мы не можем, т.к. эта задача на построение и как я могу утверждать что стороны пропорциональны... Подтолкните на мысль!!!

[TOTAL]

puma-zay4ik в сообщении #441237 писал(а):

Углы $BQA = MQN$ , как вертикальные. А как дальше? Воспользоваться пропорциональностью мы не можем, т.к. эта задача на построение и как я могу утверждать что стороны пропорциональны... Подтолкните на мысль!!!

Считая, что точки $M$ и $A$ лежат по разные стороны диаметра, докажите, что $\angle ABN = \angle BAM.$ Затем докажите, что дуги $AN$ и $BM$ равны, откуда сделайте вывод о том, что хорды $AB$ и $MN$ параллельны.

[puma-zay4ik]

Я честно говоря не очень-то и поняла ход ваших мыслей...Я не понимаю, как я могу доказать что угол $ABN=BAM$?! Не нашла соответствующего свойства...Нашла только, что если хорда перпендикулярна диаметру, то диаметр делит её пополам, также поняла как из того что углы равны можно сделать вывод, что и дуги равны...Но как можно доказать равенство этих углов?! Думала что $MQ=QA$, но это не верно, т.к. точка $Q$ не обязательно является центром окружности...Ой, а как на счёт равенство треугольников $FBQ=FAQ$( точка$F$ лежит на диаметре, там где хорда делится пополам) по двум сторонам и углу между ними?Если я докажу что эти два треугольника равны, то и углы нужные нам тоже равны!!!ВЕРНО?

[ewert]

TOTAL в сообщении #436226 писал(а):

Перпендикулярно заданному диаметру постройте хорду

Как?

[bot]

Дык любую же (почти, так вдруг далее параллельно пойдёт). Берём точку внутри, но не на диаметре и опускаем перпендикуляр на диаметр. Насколько я понимаю, с этой задачей ТС справилась, а трудность в опускании перпендикуляра из точки на окружности.

[TOTAL]

puma-zay4ik в сообщении #441796 писал(а):

Я не понимаю, как я могу доказать что угол $ABN=BAM$?!

А сможете доказать, что угол $ABQ=BAQ?$

puma-zay4ik в сообщении #441796 писал(а):

Ой, а как на счёт равенство треугольников $FBQ=FAQ$( точка$F$ лежит на диаметре, там где хорда делится пополам) по двум сторонам и углу между ними?Если я докажу что эти два треугольника равны, то и углы нужные нам тоже равны!!!ВЕРНО?

Верно.

[ewert]

bot в сообщении #442150 писал(а):

и опускаем перпендикуляр на диаметр

Как? Если только линейкой.

[TOTAL]

ewert в сообщении #442163 писал(а):

bot в сообщении #442150 писал(а):

и опускаем перпендикуляр на диаметр

Как? Если только линейкой.

Не только линейкой, карандаш тоже имеется.

В остроугольном треугольнике проведены все высоты и на одной из сторон как на диаметре описана окружность.

[ewert]

TOTAL в сообщении #442166 писал(а):

В остроугольном треугольнике проведены все высоты

Как? Если только линейкой.

TOTAL в сообщении #442166 писал(а):

на одной из сторон как на диаметре описана окружность.

Как? Если только линейкой.

[TOTAL]

ewert в сообщении #442173 писал(а):

TOTAL в сообщении #442166 писал(а):

В остроугольном треугольнике проведены все высоты

Как? Если только линейкой.

TOTAL в сообщении #442166 писал(а):

на одной из сторон как на диаметре описана окружность.

Как? Если только линейкой.

Сторона с построенной на ней как на диаметре окружностью уже имеется. Осталось достроить весь треугольник с высотами. Для этого достаточно линейки. (Используется то, что опирающийся на диаметр вписанный угол является прямым.)