Максимум суммы

[Andrey173]

Пусть даны n неотрицательных чисел $a_1, a_2, ..., a_n$ и их сумма равна 1.
Найти наибольшее возможное значение суммы:$a_1a_2+a_2a_3+...+a_na_1$

С чего начать? Мне почему-то кажется, что $\frac{1}{3}$

[мат-ламер]

В журнале "Квант" было что-то похожее. Я бы начал с множителей Лагранжа, но не знаю, может Вам надо элементарное решение? Для начала рассмотрите случаи небольших $n$.

[Andrey173]

Боюсь, что этот метод для меня - это слишком круто. Да должно быть элементарное решение.
Я Квант особо не читаю, пару статей только старых.
Для n=2, это $\frac{1}{4}$, для n=3, это $\frac{1}{3}$, а дальше кроме квадратов появляются лишние пары, которые не входят в искомую сумму.

[мат-ламер]

Теперь попробуйте для $n=4$. Там четыре множителя. Объедините их в пары.

-- Вс апр 03, 2011 20:32:09 --

Попробуйте такую методику. Объединяйте множители в пары. В паре выносите общий множитель. Далее неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим.

[Andrey173]

Спасибо, буду пробовать)

[ewert]

Andrey173 в сообщении #430870 писал(а):

Мне почему-то кажется, что $\frac{1}{3}$

А мне почему-то кажется, что $\frac{1}{n}$.

Докажите, что никакая комбинация, в которой хоть два каких-либо икса различаются -- не максимальна. Для этого найдите, где достигается максимум выражения $x_ix_k$ при условии, что $x_i+x_k=\mathrm{const}$.

[Andrey173]

ewert
а если $a_1=\frac{1}{3}, a_2=\frac{1}{3}, a_3=\frac{1}{3}$, и все остальные равны ноль.

ewert в сообщении #430898 писал(а):

А мне почему-то кажется, что $\frac{1}{n}$.

Тогда для $n=2$, это $\frac{1}{2}$ ?)

[MrDindows]

Andrey173 в сообщении #430899 писал(а):

ewert
а если $a_1=\frac{1}{3}, a_2=\frac{1}{3}, a_3=\frac{1}{3}$, а все остальные равны ноль.

Может быть лучше $a_1=\frac{1}{2}, a_2=\frac{1}{2}$, а все остальные равны нулю.
Тогда сумма $\frac{1}{4}$

[Andrey173]

MrDindows
$\frac{1}{3}>\frac{1}{4}$

[MrDindows]

Andrey173 в сообщении #430905 писал(а):

MrDindows
$\frac{1}{3}>\frac{1}{4}$

Но ведь в вашем примере $\frac{1}{3}$ не достигается)
Так как,
$S=\frac13\cdot\frac13+\frac13\cdot\frac13+\frac13\cdot0+0+...+0\cdot\frac13=\frac29$

[Andrey173]

MrDindows
Час ночи, пора мне спать кажется
Тогда 0.25

[мат-ламер]

(Оффтоп)

Не вовремя Вы задали вопрос. На TV-Ray фильм на мат. тему - Мистер Бин.

[Andrey173]

(Оффтоп)

Я маленький любил его смотреть, все серии и фильмы видел))

[мат-ламер]

Нашёл статью в журнале Квант - 1996г. N2. Курляндчик Л. Попробуем решить проблему.

[Sonic86]

Очень маленький совет - при поиске экстремальных значений симметрических функций всегда смотрите, чему равно значение этой функции при одинаковых аргументах (в данном случае значение аргументов, когда они одинаковы, находите из данного ограничения)