2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Максимум суммы
Сообщение03.04.2011, 18:11 
Аватара пользователя
Пусть даны n неотрицательных чисел $a_1, a_2, ..., a_n$ и их сумма равна 1.
Найти наибольшее возможное значение суммы:$a_1a_2+a_2a_3+...+a_na_1$

С чего начать? Мне почему-то кажется, что $\frac{1}{3}$

 
 
 
 Re: Максимум суммы
Сообщение03.04.2011, 18:44 
Аватара пользователя
В журнале "Квант" было что-то похожее. Я бы начал с множителей Лагранжа, но не знаю, может Вам надо элементарное решение? Для начала рассмотрите случаи небольших $n$.

 
 
 
 
Сообщение03.04.2011, 18:54 
Аватара пользователя
Боюсь, что этот метод для меня - это слишком круто. Да должно быть элементарное решение.
Я Квант особо не читаю, пару статей только старых.
Для n=2, это $\frac{1}{4}$, для n=3, это $\frac{1}{3}$, а дальше кроме квадратов появляются лишние пары, которые не входят в искомую сумму.

 
 
 
 Re: Максимум суммы
Сообщение03.04.2011, 19:25 
Аватара пользователя
Теперь попробуйте для $n=4$. Там четыре множителя. Объедините их в пары.

-- Вс апр 03, 2011 20:32:09 --

Попробуйте такую методику. Объединяйте множители в пары. В паре выносите общий множитель. Далее неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим.

 
 
 
 
Сообщение03.04.2011, 19:37 
Аватара пользователя
Спасибо, буду пробовать)

 
 
 
 Re: Максимум суммы
Сообщение03.04.2011, 19:58 
Andrey173 в сообщении #430870 писал(а):
Мне почему-то кажется, что $\frac{1}{3}$

А мне почему-то кажется, что $\frac{1}{n}$.

Докажите, что никакая комбинация, в которой хоть два каких-либо икса различаются -- не максимальна. Для этого найдите, где достигается максимум выражения $x_ix_k$ при условии, что $x_i+x_k=\mathrm{const}$.

 
 
 
 
Сообщение03.04.2011, 20:01 
Аватара пользователя
ewert
а если $a_1=\frac{1}{3}, a_2=\frac{1}{3}, a_3=\frac{1}{3}$, и все остальные равны ноль.
ewert в сообщении #430898 писал(а):
А мне почему-то кажется, что $\frac{1}{n}$.

Тогда для $n=2$, это $\frac{1}{2}$ ?)

 
 
 
 Re:
Сообщение03.04.2011, 20:14 
Andrey173 в сообщении #430899 писал(а):
ewert
а если $a_1=\frac{1}{3}, a_2=\frac{1}{3}, a_3=\frac{1}{3}$, а все остальные равны ноль.

Может быть лучше $a_1=\frac{1}{2}, a_2=\frac{1}{2}$, а все остальные равны нулю.
Тогда сумма $\frac{1}{4}$

 
 
 
 
Сообщение03.04.2011, 20:15 
Аватара пользователя
MrDindows
$\frac{1}{3}>\frac{1}{4}$

 
 
 
 Re:
Сообщение03.04.2011, 20:18 
Andrey173 в сообщении #430905 писал(а):
MrDindows
$\frac{1}{3}>\frac{1}{4}$

Но ведь в вашем примере $\frac{1}{3}$ не достигается)
Так как,
$S=\frac13\cdot\frac13+\frac13\cdot\frac13+\frac13\cdot0+0+...+0\cdot\frac13=\frac29$

 
 
 
 
Сообщение03.04.2011, 20:20 
Аватара пользователя
MrDindows
Час ночи, пора мне спать кажется :oops:
Тогда 0.25

 
 
 
 Re: Максимум суммы
Сообщение03.04.2011, 20:25 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Не вовремя Вы задали вопрос. На TV-Ray фильм на мат. тему - Мистер Бин.

 
 
 
 
Сообщение03.04.2011, 20:26 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Я маленький любил его смотреть, все серии и фильмы видел))

 
 
 
 Re: Максимум суммы
Сообщение03.04.2011, 20:54 
Аватара пользователя
Нашёл статью в журнале Квант - 1996г. N2. Курляндчик Л. Попробуем решить проблему.

 
 
 
 
Сообщение03.04.2011, 21:06 
Очень маленький совет - при поиске экстремальных значений симметрических функций всегда смотрите, чему равно значение этой функции при одинаковых аргументах (в данном случае значение аргументов, когда они одинаковы, находите из данного ограничения)

 
 
 [ Сообщений: 32 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group