Разомкнутость дополнения замкнутого множества булевых функци

[_nobody]

Здравствуйте. Такая задача по математической логике:

Доказать, что дополнение непустого и отличного от $P_2$ замкнутого множества $K$ булевых функций до $P_2$ незамкнуто.

Определение замкнутости давалось такое:
Множество $K \subseteq P_2 $ называется замкнутым, если $K=[K]=\{f | f\text{ --- суперпозиция функций из } K\}$
А также то, что если любая суперпозиция ранга 1 функций из $K$ лежит в $K$, то $K=[K]$ замкнуто, где суперпозицией ранга 1 называется функция, полученная либо переименованием переменной, либо заменой одной переменной функцией.

Но я еще встречал другое определение замкнутости, отличающееся от данного лишь тем, что там добавлено: функции тождественные нуль и единица должны лежать в классе $K$ (вроде можно называть необходимым признаком замкнутости). Так вот, может ли последнее предложение (дополнение определения) быть следствием того определения, что написано ранее? Если оно следует из определения, то, получается, дополнение замкнутого множества не содержит эти тождественные функции ноль и единица, а следовательно, полученное множество не может быть замкнутым. Но в то же время возникает сомнение — ведь тождественных функций может быть очень много, отличающиеся друг от друга количеством переменных... Следовательно, в дополнении замкнутого множества могут существовать другие тождественные функции... А может, не могут...

Как доказать первоначальное утверждение?

[svv]

Если замкнутому классу $A$ принадлежит функция $x | y$, класс $A$ является полной системой и (будучи замкнутым) совпадает с $P_2$.
Пусть и $K$, и $P_2 \setminus K$ замкнуты.
Но функция $x | y$ принадлежит либо $K$, либо $P_2 \setminus K$.
Следовательно, либо $K=P_2$, либо $P_2 \setminus K=P_2$, то есть $K=\varnothing$. А это противоречит условию.

[_nobody]

Гениально! Спасибо огромное!

P.S. Как же все-таки "хитры" в применении эти две полные системы функций: штрих Шеффера и стрелка Пирса.