Сила натяжения заряженого кольца

[Rubik]

Требуется найти силу натяжения равномерно заряженого кольца.
Пусть его заряд $Q$, радиус $R$, тогда линейная плотность заряда на нём $\rho=\frac Q{2\pi R}$. Пусть напряжённость поля, создаваемого кольцом на неком малом участке самого кольца равна $E$. Выделим малый участок кольца, видимый из центра под углом $d\alpha$. Заряд участка $dQ=\rho Rd\alpha$. Электростатическая сила, действующая на участок $dF=EdQ=E\rho Rd\alpha$. Сила натяжения кольца $T$. Тогда $dF=2T\frac{d\alpha}2$, $T=\frac{dF}{d\alpha}=E\rho R$. Требуется найти напряженность E.
Отсчёт угла $\alpha$ начнём от точки, напряжённость в которой нас интересует. Найдём напряжённость, создаваемую в одной из точек кольца участком, видимым из центра под углом $d\alpha$. $e=k\frac{dQ}{r^2}=k\frac{\rho Rd\alpha}{\left(2R\sin\frac\alpha2\right)^2}=\frac{k\rho}{4R}\frac{d\alpha}{\sin^2\frac\alpha2}$. Проекция напряженности на радиус: $dE=e\sin\frac\alpha2=\frac{k\rho}{4R}\frac{d\alpha}{\sin\frac\alpha2}$.
Напряжённость поля, создаваемого всем кольцом: $E=\int\limits_0^{2\pi}dE=\frac{k\rho}{4R}\int\limits_0^{2\pi}\frac{d\alpha}{\sin\frac\alpha2}$.
Интеграл не сходится, т. е. напряжённость поля и сила натяжения бесконечно большие. Но это же неверно. В чём ошибка?

[Munin]

Рассмотрите изменение энергии кольца при малом изменении его радиуса.

[Rubik]

Чтоб найти энергию кольца, требуется найти потенциал на нём. $d\phi=k\frac{dQ}r=k\frac{\rho Rd\alpha}{2R\sin\frac\alpha2}$; $\phi=\frac{k\rho}2\int\limits_0^{2\pi}\frac{d\alpha}{\sin\frac\alpha2}$. Интеграл идентичен предыдущему, не сходится.

[dovlato]

У меня ощущение, что неверны не вычисления (тут, возможно, с точностью до коэффициента, всё в порядке) - а с самой моделью, в которой толщина нити равна нулю. С толстой нитью проблемы с расходимостью интеграла, по-видимому, исчезнут. Но, правда, тогда непонятно, как это всё можно было бы интегрировать. Кстати - интересно, откуда задача?

[Munin]

Интересно...

[Zai]

В силу симметрии кольца, силовое воздействие как и напряженность электрического поля, на малую дугу кольца будет направлено по радиусу и аналогично действию внутреннего давления.

[rotozeev]

Получается так, что тот кусочек кольца, которому соответствует угол 0, действует сам на себя. При этом малость заряда кусочка никак не компенсирует то, что расстояние от кусочка до самого себя в точности = 0, и это расстояние в законе Кулона стоит в знаменателе.

-- Сб апр 02, 2011 12:54:31 --

Вот если интегрировать не от 0, а от некоего малого $\delta\alpha$, то для силы получаем выражение:
$F=\dfrac{Q^2}{8\pi^2R^2}\delta\alpha\int_{\delta\alpha}^\pi\dfrac{\cos \alpha }{\sin^2\frac{\alpha}{2}}d\alpha $

Причем, маткад как бы показывает, что предел:

$\delta\alpha\int_{\delta\alpha}^\pi\dfrac{\cos \alpha }{\sin^2\frac{\alpha}{2}}d\alpha$

при $\delta\alpha\rightarrow 0$ стремится к 4.

[dovlato]

Рыдай, народ: модель заряженной нити без толщины - вааще в принципе неосуществима. Вот пусть у нас кусок даже прямой такой нити длины $2a$. Подсчитаем, с какой силой левая и правая половины отталкиваются друг от друга.

$$f=k \rho^2\int\limits_0^adx\int\limits_0^a\frac{dy}{(x+y)^2}=k \rho^2\int\limits_0^a(\frac1x-\frac1{x+a})dx=k \rho^2\lim\limits_{h\to 0}ln\left(\frac12 \frac{h+a}h \right)\rightarrow \infty$$

То же и для любой другой точки.. она мгновенно взрывается - вся.

[Иван_85]

dovlato, тут не в толщине нити дело. Для "толстой" нити будет тоже самое.

[Rubik]

dovlato в сообщении #430156 писал(а):

Кстати - интересно, откуда задача?

Задача из Савченко №6.1.21

Цитата:

a. Металлическое кольцо разорвалось кулоновскими силами, когда заряд кольца был равен Q. Сделали точно такое же новое кольцо, но из материала, прочность которого в десять раз больше. Какой заряд разорвёт новое кольцо?
б. Какой заряд разорвёт новое кольцо, сделанное из прежнего материала, если все размеры нового кольца в три раза больше размеров старого?

Для решения задачи не надо выводить эту формулу, просто захотелось пойти глубже.

[rotozeev]

Ну да. В исходной постановке все просто. Очевидно, что силе некуда деваться, кроме как быть пропорциональной $F\propto\dfrac{Q^2}{R^2}$, и для поставленных вопросов коэффициент пропорциональности роли не играет.

[dovlato]

Иван_85 в сообщении #430306 писал(а):

Для "толстой" нити будет тоже самое.

Нет. Если нить имеет конечную толщину - то и напряжённость поля в любой точке будет конечной. Все электростат. силы - это интегралы, куда напряжённость входит линейно; отсюда следует, что любые силы, возникающие в замкнутой области, и действующие на ограниченные тела - в случае "толстой" нити обязательно будут также конечны.

-- Сб апр 02, 2011 15:24:00 --

Rubik в сообщении #430337 писал(а):

Какой заряд разорвёт новое кольцо?

Ну он выбрал не слишком удачный объект..хотя ведь там не сказано, что кольцо нулевой толщины. А так, качественно, ясно, что все силы будут пропорциональны квадрату заряда, и обратно пропоорционально размерам (при сохранении формы).

[BISHA]

Rubik в сообщении #429698 писал(а):

Требуется найти силу натяжения равномерно заряженого кольца.

А если провести диагональ и и взять участок вблизи пересечения диагонали с кольцом. При сложения сил, действующих на выбранный участок, участки на кольце выбирать с одной стороны диагонали, а затем сложить все проекции сил перпендикулярные диагонали. Полученная сила и будет силой натяжения кольца.

[dovlato]

BISHA в сообщении #430452 писал(а):

задача не может состоять в том, чтобы предписывать Богу

Такое впечатление, что вы всё же надеетесь с Ним договориться; например, с помощью диагонали..

[BISHA]

dovlato в сообщении #430527 писал(а):

вы всё же надеетесь с Ним договориться

Быть полезным. А Вы хорошо подумали над предложением?