Сила натяжения заряженого кольца

[dovlato]

BISHA в сообщении #430542 писал(а):

хорошо подумали над

Мне кажется, что коли приведенный расчёт ясен (ведь интегрировать мы все более-менее умеем), но приводит к какому-то "не такому" результату - то значит, мои представления о том, что такое "то" и "не то", следует изменить: не спорить же с Создателем. А в вашей попытке с помощью диагонали добиться желаемого результата мне почудилось нечто вроде просьбы..надежды на то, что удастся Его упросить)).

[BISHA]

dovlato в сообщении #430560 писал(а):

надежды на то, что удастся Его упросить

Да. Уже встречал и "решал" такую задачу, но старею...

[apv]

(Оффтоп)

Rubik в сообщении #429698 писал(а):

Интеграл не сходится, т. е. напряжённость поля и сила натяжения бесконечно большие. Но это же неверно. В чём ошибка?

Каюсь что я еще не думал над задчей, но обещаю... Боюсь что этот расходимый интеграл как-то нужно перенормировать .

[ewert]

apv в сообщении #435050 писал(а):

Боюсь что этот расходимый интеграл как-то нужно перенормировать

Интеграл от положительной функции как ни перенормируй -- он всяко разойдётся. Задача (с бесконечно тонкой нитью) всяко некорректна. Т.е. очевидно, что если взять сначала нить конечной толщины, а потом устремить её толщину к нулю, сохраняя линейную плотность заряда, то сила натяжения будет неограниченно возрастать.

А вот если взять колечко на плоскости (что, правда, физически неосуществимо), то сила будет уже конечна.

[Munin]

ewert в сообщении #435542 писал(а):

А вот если взять колечко на плоскости (что, правда, физически неосуществимо)

Физически осуществимо то же самое, если умножить всё это на прямую. Получится цилиндр.

[ewert]

Ну в принципе можно и так, только тогда придётся говорить уже о силе натяжения, приходящейся на единицу длины осевого сечения. Кстати, тот цилиндр хоть и не лопнет вдоль, зато разорвётся поперёк (правда, по другой причине -- из-за расходимости интеграла уже не в нуле, а на бесконечности, т.е. из-за того, что тот цилиндр чересчур уж длинен).

[dovlato]

ewert в сообщении #435561 писал(а):

хоть и не лопнет вдоль, зато разорвётся поперёк

Согласен. Из-за бесконечной длины снова полезут инт-лы вида $\int\limits_0 ^{\infty}f(x) dx/x\rightarrow\infty$
Но что для меня неожиданно - насколько трудно людям свыкнуться с мыслью о расходимости не метода вычисления, а именно самой модели - они продолжают пытаться взять клятый интеграл каким-то иным боком..

[BISHA]

А если взять отрезок и посмотреть какая сила будет действовать на её край - $F=kp^2$
Длины отрезка нет в формуле, как это и будет верно для окружности бесконечного радиуса, возможно и для любой окружности.

[rotozeev]

Хм, я же уже написал решение - оно не содержит расходимостей. Нужно всего лишь аккуратно избавиться от того, чтобы учитывать поле, создаваемое кусочком кольца в точке, в которой этот кусочек и находится. То есть мы выделяем кусочек кольца, которому соответствует угол $\delta\alpha$, интегрированием по оставшейся части кольца находим силу, с которой та часть кольца действует на данный кусочек, и затем устремляем размер этого кусочка к нулю.

$F=\dfrac{Q^2}{8\pi^2R^2}\lim_{\delta\alpha\rightarrow 0}\delta\alpha\int_{\delta\alpha}^\pi\dfrac{\cos \alpha }{\sin^2\frac{\alpha}{2}}d\alpha = \dfrac{Q^2}{2\pi^2R^2}$

[dovlato]

rotozeev в сообщении #435961 писал(а):

всего лишь аккуратно избавиться от того, чтобы учитывать

Вы просто доказали ещё раз, что кольцо в каждой своей точке рвётся не внешними, а внутренними силами.

[obar]

Пусть $d$ - диаметр поперечника кольца, $R$ - радиус кольца. Тогда для главного члена разложения силы натяжения
кольца $T$ в ряд по $d/R\ll1$ будем иметь

$$ T=\frac{Q^2}{4\pi^2 R^2}\left(\ln\frac{R}{d}+O(1)\right). $$

В пределе $d\rightarrow0$, $T\rightarrow\infty$.