уравнение теплопроводности, нужен метод решения

[spyphy]

$ u_t = 3 u_{xx} + f(x,t) $
$ u|_{t=0} = 0, u|_{x=0} = 0, u_x|_{x=2} = 0 $
Каким методом решать такую задачу? Или в каком виде искать решение?

[Полосин]

Тихонов, Самарский. Уравнения математической физики.

[spyphy]

Да знаю я этот учебник...
Но там такие граничные условия не рассматриваются. Обратите внимание на то, что здесь $u_x|_{x=2} = 0 $ стоит производная по x.
Когда $u|_{x=2} = 0 $, то проблем нет. У меня этот пример разобран. Там искалось решение в виде суммы $ \sum a_k(t) sin (k \pi x/2)$. Я естественно тоже так начал решать и испортил целую стопку бумаги прежде чем это осознал! Искать заново решение в виде $ u(x,t)=X(x)T(t) $ я уже просто не в состоянии. Вдруг опять ерунда какая получится, ведь не факт что оно должно быть именно таким... может можно модифицировать прежнее решение под этот случай?

[Полосин]

spyphy в сообщении #427214 писал(а):

Да знаю я этот учебник...

Судя по тому, что вы пишете, - не знаете. И писать тут надо совсем немного. Разделите переменные, напишите общее решение соответствующего ОДУ, подберите коэффициенты так, чтобы удовлетворить краевым и начальным условиям. Делов-то...

[ewert]

spyphy в сообщении #427214 писал(а):

Но там такие граничные условия не рассматриваются.

Я, возможно, даже и не читал Тихонова-Самарского (просто не помню, читал конкретно его или не читал). Но в одном уверен: этого не может быть, ибо этого не может быть никогда. Немыслима ситуация, в которой Тихонов-Самарский был бы просто чуланом, в котором хранится всякий хлам в виде готовых решений. А не учебником.

[spyphy]

ewert в сообщении #427221 писал(а):

этого не может быть, ибо этого не может быть никогда

Да я имел в виду, что там разобранного примера решения именно такого уравнения теплопроводности с именно такими граничными условиями я не нашел по крайней мере. Понятно, что в целом если хорошо искать на этих 800 страницах и подолгу вникать в суть дела, то можно чего-то и найти по кускам там и сям.

Полосин в сообщении #427217 писал(а):

Разделите переменные, напишите общее решение соответствующего ОДУ

Имеется в виду задача Штурма-Лиувилля? типа $X''(x)+kX=0$?
У меня в прошлый раз пол дня ушло на вычисление коэффициентов рядов фурье...

[ewert]

spyphy в сообщении #427228 писал(а):

Понятно, что в целом если хорошо искать на этих 800 страницах и подолгу вникать в суть дела, то можно чего-то и найти по кускам там и сям.

Вот ровно из-за этого у Вас и проблемы. Из-за того, что Вы норовите урвать готовое решение конкретной задачи. Вместо того, чтобы вникать в метод решения некоторого класса задач.

[ИСН]

spyphy в сообщении #427228 писал(а):

если хорошо искать на этих 800 страницах и подолгу вникать в суть дела

Да, обычно так и делают. Это называется обучением.

[spyphy]

ewert в сообщении #427232 писал(а):

Вместо того, чтобы вникать в метод решения некоторого класса задач.

Вникать я готов, но только как-нибудь в другой раз, сейчас нету времени. А методы нам известны - угадать вид решения и проверить, что оно удовлетворяет заданному уравнению.

[Munin]

Посмотрите в справочник
Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики (ФМЛ, 2001).
Там это называется смешанной краевой задачей.

В базисе будут синусы с длинами волн $4L,$ $4L/3,\ldots$ $4L/(2n+1).$

[ewert]

spyphy в сообщении #427235 писал(а):

А методы нам известны - угадать вид решения

Тогда сразу сдавайтесь -- ничего у Вас не выйдет. Тут не гадать, а думать нужно.

[spyphy]

Munin в сообщении #427243 писал(а):

Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики (ФМЛ, 2001).

готовая формула в таком виде вряд ли прокатит )
А вот книгу тех же авторов, на которую я случайно наткнулся, видно, стоит полистать... Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Метод разделения переменных в математической физике. СПб.: Книжный Дом, 2009

[Munin]

spyphy в сообщении #427257 писал(а):

готовая формула в таком виде вряд ли прокатит

Вам результат нужен, или сдать решение? Во втором случае - согласен с другими отвечающими, не подменяйте обучение и думание поиском готовенького.

[spyphy]

Ну так мне скажет кто-нибудь как решать эту задачу???
Подставляя $ u(x,t)=X(x)T(t) $ в исходное уравнение получим $ X(x)T'(t) = 3 X''(x)T(t) + f(x,t) $. И что мне с этим делать?
У Тихонова сначала решается однородное уравнение, а потом потом как он переходит к неоднородному так я и не понял...

[sup]

Ну а что Вам мешает быть столь же хитрым как и Тихонов? (А может и ещё хитрее )
Могу предположить, что после решения однородного уравнения у Вас появится непреодолимое желание составить формальный ряд
$\sum a_k(t) \sin (\frac {(2k+1)\pi x}{4})$

Цитата:

А методы нам известны - угадать вид решения и проверить, что оно удовлетворяет заданному уравнению.

Осталось угадать откуда взялись такие синусы.