уравнение теплопроводности, нужен метод решения

[spyphy]

Вообще я точно не понял к чему относился тот ряд у Тихановского. Но в моем конспекте было именно так и написано.
Да, я знаю от куда взялись эти синусы - $\sum a_k(t) \sin (\frac {(2k+1)\pi x}{4})$ - чтобы удовлетворить граничным условиям. У меня почти такие же мысли были, но что-то никак не мог придумать такую записись синусов, чтобы косинус при этом обращался нуль... Очень надеюсь на то, что решение действительно имеет такой вид...

[spyphy]

Собственно что меня смутило еще в прошлый раз. А что если вместо
$\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k(t) \sin (\frac {(2k+1)\pi x}{4})$
искать решение в виде
$\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k(t) \sin (\frac {(2k-1)\pi x}{4})$?
Ведь все же какая-то разница должна быть...
И кстати, а это точно будет рядом Фурье?... Я в таком виде его первый раз вижу.

[sup]

А Вы посмотрите, какие синусы в первой сумме, а какие во второй. А то, что это действительно ряд Фурье .... Ну вот для ответа на такие вопросы и нужно теорию изучать. Это ряд по собственным функциям соответствующей задачи (лень писать, сами можете сообразить по аналогии с условиями Дирихле). Изменились краевые условия - изменились и собственные функции.

[Munin]

spyphy в сообщении #427393 писал(а):

Ведь все же какая-то разница должна быть...

Конечно. В первом случае вы пропустили $k=0,$ который там должен быть в пределах суммы. А если его не пропускать - два выражения отличаются только перенумерацией последовательности коэффициентов $a_k(t),$ то есть после суммирования - ничем.

spyphy в сообщении #427393 писал(а):

И кстати, а это точно будет рядом Фурье?...

Это не ряд Фурье, но это метод Фурье (который опирается на базис собственных функции, не обязательно на базис ряда Фурье). В более сложных случаях собственные функции могут выглядеть совсем непохоже на синусы ряда Фурье (функции Бесселя, шаровые функции, степенные многочлены, только для примера), но принцип разложения решения в сумму по собственным значениям сохраняется.