Рекурентное уровнение

[Ramm13]

Как решить рекурентное уровнение вида:
x(n+1)=(n+1)x(n)+(-1)^(n+1)
Какого вида ето уровнение, оно нелинейное и неоднородное???

[svv]

Рекуррентное уравнение $x_{n+1}=(n+1)x_n+(-1)^{n+1}$.

Уменьшим $n$ на $1$; и затем еще на $1$:
$x_n=n\, x_{n-1}+(-1)^n$
$x_{n-1}=(n-1)\, x_{n-2}+(-1)^{n-1}$

В этой паре уравнений выбираем $n$ чётным ($2$, $4$, ...), а $n-1$, соответственно, нечётным. Тогда
$x_n=n\,x_{n-1}+1$
$x_{n-1}=(n-1)\,x_{n-2}-1$

Подставляем второе в первое.
$x_n=n ((n-1)\,x_{n-2}-1 )+1$,
то есть
$x_n=n(n-1)\,x_{n-2}-n+1$.

Теперь сделаем подстановку $x_n=n!\, y_n$:
$n! \,y_n=n(n-1)\,(n-2)!\,y_{n-2}-n+1 = n!\,y_{n-2}-n+1$,
то есть
$y_n=y_{n-2}-\frac{n-1}{n!}$.

Дальше сами?

[svv]

Ой
Гораздо проще сразу сделать подстановку $x_n=n!\, y_n$, тогда
$n! \, y_n = n (n-1)! \, y_{n-1}+(-1)^n$
$y_n = y_{n-1}+\frac {(-1)^n} {n!}$
Дальше сами?

[V.V.]

Ramm13 в сообщении #424079 писал(а):

Как решить рекурентное уровнение вида:
x(n+1)=(n+1)x(n)+(-1)^(n+1)
Какого вида ето уровнение, оно нелинейное и неоднородное???

Оно линейное и первого порядка. Этого достаточно, чтобы написать решение с суммами.
Метод решения таких рекуррентных соотношений описан, например, в книге Грэхема, Кнута и Паташника "Конкретная математика".