Каждая точка плоскости раскрашена в один из трёх цветов...

[Алексей К.]

Каждая точка плоскости раскрашена в один из трёх цветов.
Доказать, что существует прямоугольник с вершинами одного цвета.

Спасибо...

[worm2]

Введём декартовы координаты на плоскости и рассмотрим равномерную прямоугольную сетку (i, j), где i пробегает натуральные значения от 1 до 4, j -- натуральные значения от 1 до 82. Каждая точка сетки раскрашена в свой цвет. Поскольку имеется $3^4$=81 различных вариантов раскраски четвёрки точек (1,j), (2,j),(3,j), (4,j), то существует две одинаково раскрашенные четвёрки:
цвет (1,j) = цвет (1,k)
цвет (2,j) = цвет (2,k)
цвет (3,j) = цвет (3,k)
цвет (4,j) = цвет (4,k)
Но цветов всего 3. Значит, для какой-то пары точек из этих 4-х цвет совпадает: цвет (p,j) (= цвет (p,k)) = цвет (q,j) (= цвет (q,k)), что и требовалось доказать.

[Алексей К.]

Спасибо!