Ряды

[bundos]

Посмотрите пожалуйста, правильно ли я посчитал сумму следующих рядов.

1. $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{2^k}=\sum_{k=1}^{\infty}[\frac{-(k+1)-1}{2^{(k+1)-1}}-\frac{-k-1}{2^{k-1}}]=2$

2. $\sum_{n=1}^{\infty}\arctg \frac1{n^2+n+1}}$
$\beta_{n+1}-\beta_n=\arctg \frac1{n^2+n+1}}$
$\frac{\tg \beta_{n+1}-\tg \beta_n}{1+\tg \beta_{n+1}\tg \beta_n}=\frac1{n^2+n+1}}$
$\beta_n=\arctg n$
$S=\sum_{n=1}^{\infty}\arctg \frac1{n^2+n+1}}=\sum_{n=1}^{\infty}[\arctg (n+1)-\arctg n]$
$S=\lim\limits_{n \to \infty}(\arctg (n+1)-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{4}$

3. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\arctg\frac1{2n^2}$
$\beta_{n+1}-\beta_n=\arctg \frac1{2n^2}}$
$\frac{\tg \beta_{n+1}-\tg \beta_n}{1+\tg \beta_{n+1}\tg \beta_n}=\frac2{4n^2}$
$\tg\beta_n=2n-1$
$\beta_n=\arctg (2n-1)$
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\arctg\frac1{2n^2}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}[\arctg (2n+1)-\arctg (2n-1)]=\frac{\pi}{4}$

4.$S=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{6^k}{(3^{k+1}-2^{k+1})(3^k-2^k)}$
$S=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{6^k}{(3^{k+1}-2^{k+1})(3^k-2^k)}=-\frac1{2}\sum\limits_{k=1}^{\infty}[\frac{3^{k+1}+2^{k+1}}{3^{k+1}-2^{k+1}}-\frac{3^k+2^k}{3^k-2^k}]$
$S=\lim\limits_{k \to \infty}(\frac1{2}\frac{3+2}{3-2}-\frac1{2}\frac{3^{k+1}+2^{k+1}}{3^{k+1}-2^{k+1}})$
$S=2$

5. $S=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac1{2^n}\tg \frac1{2^n}$
$S=\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{2^{2k}(2^{2k-1})B_{2k}}{(2k)!}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac1{2^{2nk}}$
$S=\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{2^{2k}(2^{2k-1})B_{2k}}{(2k)!}\frac{2^{2k}}{2^{2k}-1}$
$S=2\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{2^{2k}B_{2k}}{(2k)!}2^{2k-1}$

$S=2-2\ctg 2$

[Vince Diesel]

В 5й задаче будет $1-\ctg1$.

[Sonic86]

1;2;3;4 соответственно правильно, только как Вы переходите от дроби с тангенсами от $\beta _n$ к значению $\beta _n$. Просто догадываетесь? А если в общем случае? (я не докапываюсь, просто возможно это спросит преподаватель. Мне просто не совсем очевидно, что $\tg \beta _n$ всегда будет многочлен...)

[bundos]

Цитата:

как Вы переходите от дроби с тангенсами от $\beta _n$ к значению $\beta _n$Просто догадываетесь?.

Почти догадываюсь. Например в задаче 2 рассмотрел
$1+n+n^2=1+\tg\beta_{n+1}\tg\beta_n$
$n(n+1)=\tg\beta_n\tg\beta_{n+1}$. Предположим, что $\tg\beta_n=n$,
подставим в дробь и получим тождество.

-- Вт мар 08, 2011 17:43:06 --

Vince Diesel в сообщении #420597 писал(а):

В 5й задаче будет $1-\ctg1$.

Точно, я неправильно посчитал сумму ряда, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac1{2^{2nk}}=1-\frac{2^{2k}}{2^{2k}-1}$.

[bundos]

Нужно посчитать сумму ряда $S=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac1{n^2m+2mn+m^2n}$
$S=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac1{n(n+2)}\sum\limits_{m=1}^{\infty}{\frac1{m}-\frac1{m+n+2}$, Далее получаю
$S=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac1{n(n+2)}\sum\limits_{k=1}^{n+2}\frac1{k}$
Подскажите как это посчитать.

-- Вт мар 08, 2011 23:54:28 --

Подскажите как решить задачу:
Рассмотрим гармонический ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n, a_n=\frac1{n}$. Выбросим из этого ряда все члены $a_n$, в номере $n$ которых содержится цифра 9 в десятичной записи. Будет ли такой ряд сходится? Если да, то найдите значение его сумму с точностью до 4 значащих цифр и оцените погрешность.

[Vince Diesel]

Ну, тут можно попробовать так. Обозначить внутреннюю сумму за $H_{n+2}$, скажем, дальше представить дробь снаружи как разность и модифицировать, чтобы получилось как в предыдущих примерах.

-- Вт мар 08, 2011 23:00:44 --

bundos в сообщении #420921 писал(а):

Будет ли такой ряд сходится? Если да, то найдите значение его сумму с точностью до 4 значащих цифр и оцените погрешность.

Да. Сумма двадцать с чем-то, насколько я помню

[Sonic86]

Vince Diesel писал(а):

Да. Сумма двадцать с чем-то, насколько я помню

Че-то мне кажется, что он расходится:
$S \geq (\frac{1}{1}+...+\frac{1}{8}) + (\frac{1}{11}+...+\frac{1}{88}) \geq ...$

[Vince Diesel]

Не, там исключать много придется. Из чисел длины $n$ доля не содержащих девятки будет где-то $0.9^n$.

[bundos]

Vince Diesel в сообщении #420932 писал(а):

Ну, тут можно попробовать так. Обозначить внутреннюю сумму за $H_{n+2}$, скажем, дальше представить дробь снаружи как разность и модифицировать, чтобы получилось как в предыдущих примерах.

Огромное спасибо! Разобрался, получил $\frac{7}{4}$.
И ещё вопрос, мне советовали для нахождения суммы этого ряда применить суммирование по частям. Что это за метод такой?

[Sonic86]

Угу, пожалуй, я наврал...

-- Ср мар 09, 2011 02:26:45 --

bundos писал(а):

И ещё вопрос, мне советовали для нахождения суммы этого ряда применить суммирование по частям. Что это за метод такой?

В Кнуте Конкретная математика только видел. Аналог интегрирования по частям, только вместо интегралов суммы.
Формула такая: $\sum u \Delta v = uv - \sum Ev \Delta u$

[bundos]

Vince Diesel в сообщении #420932 писал(а):

Да. Сумма двадцать с чем-то, насколько я помню

Здорово ! А как его на сходимость исследовать? Можете идею дать?

[Sonic86]

bundos писал(а):

Здорово ! А как его на сходимость исследовать? Можете идею дать?

Вычислите частичную сумму $S_N$ для $N=10^k$. Вероятность того, что цифра равна 9 равна...

[bundos]

Цитата:

В Кнуте Конкретная математика только видел. Аналог интегрирования по частям, только вместо интегралов суммы.
Формула такая: $\sum u \Delta v = uv - \sum Ev \Delta u$

На преобразование Абеля похоже, это случаем не то?

[Sonic86]

bundos писал(а):

На преобразование Абеля похоже, это случаем не то?

Да, оно.

[RIP]

topic284.html