Задачка про гармонический ряд

[Гость]

Вот такая интересная задачка:

Рассомтрим гармонический ряд 1+1/2+1/3+... Он, как известно, расходящийся. Нужно доказать, что если оставить только члены, не содержащие в десятичной записи знаменателя цифры 9, то такой ряд будет сходиться. Также было бы неплохо оценить сумму этого ряда сверху каким-нибудь числом. (насколько я знаю, эта задачка была опубликована в каком-то журнале в 1914 г.)

[Michael]

Количество n-значных (в десятичной системе) чисел. не содержащих в цифру 9. равно 8 * 9 ^ { n - 1}. Сумма всех чисел вида 1/x, где x является n-значным числом. не превосходит 8 * 9 ^ {n - 1} / 10 ^ { n - 1}.
(Самое большое число вида 1/x = 1/ 1 000 ... 000 (n - 1 нулей)).
Суммируя по всем n, получаем
Сумма <= 8 ( 1 + 0.9 + 0.9^2 + ...) = 8/(1 - 0.9) = 80.

[passenger]

80 - это очень уж грубая оценка. При подс.чёте на компьютере у меня для N = 10^8 получилась сумма порядка 13.3.

[незванный гость]

Чуть более аккуратная оценка выглядит так:

1) Пусть X[k] - множество чисел длинны k, не содержащих 9. Если y - префикс (первые цифры) длинной l, то:
2) {y} == X[l];
3) y * 10^(k-l) <= x <= (y+8/9) * 10^(k-l);
4) Для каждого y существует ровно 9^(k-l) x-ов;

Если мы обозначим SS[k] = сумма (1/x) для x принадлежащих X[k],
SL[k] = сумма (1/(x+8/9)) для x принадлежащих X[k], то

5) SL[l] * (9/10)^(k-l) <= SS[k] <= SS[l] * (9/10)^(k-l)

Таким образом (суммируя геометрические прогрессии):
SS[1] + SS[2] + ... + SS[l] + 9 * SL[l] <= S <= SS[1] + SS[2] + ... + SS[l-1] + 10 * SS[l].

Используя молоток (компьютер), имеем (для l = 1,...6):
19.7412 <= S <= 27.1786
22.5874 <= S <= 23.2578
22.8902 <= S <= 22.9506
22.9179 <= S <= 22.9234
22.9204 <= S <= 22.9209
22.9207 <= S <= 22.9207

Кстати, считая на компьютере, нужно либо правильно бороться с ошибками округления, либо (что делал я) считать в рациональных числах.

Еще одно замечание - о сходимости границ - SS[k] - SL[k] = O[10^(-k)]

[Гость]

Anonymous писал(а):

Вот такая интересная задачка:
(насколько я знаю, эта задачка была опубликована в каком-то журнале в 1914 г.)

Задача неожиданная и интересная. Нельзя ли точнее источник (если не журнал 1914, то откуда Вы ее сами взяли)?

Как видно, из нее сразу можно получить два следствия:
1. Ряд составленный из чисел 1/x, где x натуральные числа содержащие хотя бы одну девятку, те
1/9+1/19+1/29+1/39+ 1/49+.....
расходится.
2. Ряд составленный из чисел 1/x, где x натуральные числа не содержащие хотя бы одну восмерку (или семерку, ....., или единицу) сходится.
напр
1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/9+1/10+.....
или
1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/20+1/22+.....

Доказательство простое.

А вот к чему сходится ряд по пункту 2 скажем для 8?

[незванный гость]

Оценка для k = 5 :
пропускаемая цифра: границы
0 : 23.103225446322956 ≤ S ≤ 23.103719215987873;
1 : 16.17686311237879 ≤ S ≤ 16.177093073969864;
2 : 19.25715670671472 ≤ S ≤ 19.257577428573992;
3 : 20.569645761203997 ≤ S ≤ 20.570122370231164;
4 : 21.327214576298886 ≤ S ≤ 21.327717646221892;
5 : 21.834335330508473 ≤ S ≤ 21.834854264668962;
6 : 22.20532063019226 ≤ S ≤ 22.2058504681972;
7 : 22.493186937339683 ≤ S ≤ 22.49372493899422;
8 : 22.726066913532105 ≤ S ≤ 22.72661138334051;
9 : 22.920429580934147 ≤ S ≤ 22.920918295265928;

В общем, никаких неожиданостей...

[Гость]

незванный гость писал(а):

:lol:

Оценка для k = 5 :
пропускаемая цифра: границы
.............
В общем, никаких неожиданостей...

Для пропускаемой цифры 5 это дает тоже самое?

[незванный гость]

Виноват-с, сказал лениво.
k = 5 означает, что посчет велся до 10^5, т.е. вычислялись SL[5] и SS[5]. Оценка грубовата, но сходит с рук.

Далее в таблице - какая цифра пропущена, и границы для суммы.

[Гость]

незванный гость писал(а):

:evil:
Виноват-с, сказал лениво.
k = 5 означает, что посчет велся до 10^5, т.е. вычислялись SL[5] и SS[5]. Оценка грубовата, но сходит с рук.

Далее в таблице - какая цифра пропущена, и границы для суммы.

Вот спасибо! А откуда дровишки (где это написвно)?
И как насчет такой задачи:
Рассомтрим гармонический ряд 1+1/2+1/3+... Он, как известно, расходящийся. Будет ли ряд составленный только из членов, не содержащих в десятичной записи цифры 9, сходиться?

Как видно, первый член который надо выбросить будет 1/11.

[Dan_Te]

Цитата:

И как насчет такой задачи:
Рассомтрим гармонический ряд 1+1/2+1/3+... Он, как известно, расходящийся. Будет ли ряд составленный только из членов, не содержащих в десятичной записи цифры 9, сходиться?

Как видно, первый член который надо выбросить будет 1/11.

Да-а, чукча писатель, но не читатель
Может, имелось в виду "не содержащих двух единиц подряд"?

[незванный гость]

Если вычеркивать члены с двумя единицами подряд (а на самом деле - любой фиксированной комбинацией цифр), то ряд, очевидно, сойдется. Пусть у нас длина комбинации цифр суть k. Рассмотрим тогда все в системе счисления 10^k. К получившемуся ряду вполне приложимо (OK, переложимо) предыдущее доказательство. Поелику мы часть членов оставили невычеркнутыми (где сочетание оное образуется на границе k-ричных цифр), то мы заможарировали ряд сверху. Ну, а коли так, то и исходная "строка исчезает".

[незванный гость]

Гость писал(а):

Вот спасибо! А откуда дровишки (где это написвно)?

На дворе - трава.
На траве - дрова.

Ну а SL[k] и SS[k] в предущих post'ах этого thread'а.

[Гость]

Dan_Te писал(а):

Да-а, чукча писатель, но не читатель
Может, имелось в виду "не содержащих двух единиц подряд"?

"Dan_Te" тоже не читатель, как и чукча
Имелось в виду то что написано, viz. ряд рациональных чисел надо переписать в десятичном виде и выбросить числа содержащие 9, i.e.
0.0909090909090909..,
0.0769230769230769..,
0.0588235294117647..,
a.k.a.
1/11, 1/13, 1/17, ....

[Гость]

незванный гость писал(а):

На дворе - трава.
На траве - дрова.
Ну а SL[k] и SS[k] в предущих post'ах этого thread'а.

Значит вы все про сходимось знаете?

[Dan_Te]

Цитата:

Нужно доказать, что если оставить только члены, не содержащие в десятичной записи знаменателя цифры 9, то такой ряд будет сходиться.

Цитата:

Будет ли ряд составленный только из членов, не содержащих в десятичной записи цифры 9, сходиться?

Отличие, конечно, есть - в слове "знаменатель". Такое ощущение, что вы сделали все возможное, чтобы вас было трудно понять.

И вообще, может, вы представитесь уже. А то все гости да гости...