Не подскажите множество меньше счетного, но больше конечного

[Munin]

То есть соответствие есть, но его нельзя построить? А могу я, не постраивая его, сослаться на его существование как на факт существования бесконечной последовательности попарно различных?

[Виктор Викторов]

В этом отрывке из книги Френкеля и Бар-Хиллела ответ на Ваш вопрос. «В отличие от случая конечного множества $t$ конечность членов $t$ не делает проблему выбора тривиальной. На глубокое различие между использованием определенного предиката и применением мультипликативной аксиомы намекал уже Рассел. В его неформальном рассуждении бесконечное множество $t$ пар ботинок противопоставляется (допустим, эквивалентному ему) бесконечному множеству $S$ пар носков. В первом случае можно конструктивным образом задать некоторое подмножество $U$ как содержащее все левые ботинки, и это подмножество является, очевидно, множеством представителей множества $t{,}$ полученным без использования аксиомы выбора. В отличие от этого, пока фабриканты придерживаются прискорбной привычки выпускать для обеих ног одинаковые носки, мы не имеем никакого определенного предиката, одновременно выделяющего по одному носку из каждой из бесконечного количества пар. Поэтому множество, содержащее в точности по одному носку из каждой пары, существует лишь в силу аксиомы выбора. Если бы множество пар носков было, например, счетным, то мы не могли бы без помощи нашей аксиомы осуществить взаимно однозначное отображение множества $s$ всех этих пар на множество $\cup s$ всех носков, доказав тем самым и счетность множества $\cup s{.}$» Α. Α. ФРЕНКЕЛЬ И. БАР-ХИЛЛЕЛ «ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ» страница 70.

[Someone]

Munin в сообщении #419780 писал(а):

Интересно, а $\mathbb{N}$ в такой аксиоматике, получается, больше счётного?

$\mathbb N$ там как раз самое обычное и счётное по определению, как написал уже Padawan. Только возни с его определением больше, потому что аксиомы выбора нет. Но для подмножеств натурального ряда она всё равно выполняется, потому что всякое подмножество множества натуральных чисел имеет наименьший элемент (его и возьмём).

Munin в сообщении #419841 писал(а):

Берём множество, в котором можно найти $n$ попарно различных элементов $\forall n\in\mathbb{N},$ но невозможно найти бесконечную последовательность попарно различных элементов. Оно счётное.

Нет, оно не счётное. Если бы оно было счётным, то оно содержало бы бесконечную последовательность попарно различных элементов. Здесь получается, конечно, очень странно: для любого конечного подмножества такого множества можно указать не принадлежащий этому подмножеству элемент, добавить его в подмножество, найти ещё один не принадлежащий ему элемент, добавить и т.д. Но нет средства, чтобы формализовать это "и т.д.". Аксиома выбора позволяет это "и т.д." формализовать в виде конечного рассуждения, используя, например, математическую индукцию.

Munin в сообщении #420137 писал(а):

То есть соответствие есть, но его нельзя построить?

Нет, оно не существует. Если бы существовало, множество было бы счётным.

[Munin]

Someone в сообщении #420249 писал(а):

Нет, оно не счётное.

По вашим словам post419470.html#p419470 оно не больше счётного, не меньше счётного, но теперь вы говорите, что оно и не счётное. Оно не существует? Или упорядочение множеств по мощности не полное?

[Someone]

Если аксиомы выбора нет, то мощности множеств могут быть несравнимыми. Вот тут как раз такой случай и встретился. Вообще, утверждение, что для любых двух множеств $A$ и $B$ выполняется одно из отношений $|A|<|B|$, $|A|>|B|$ или $|A|=|B|$, равносильно аксиоме выбора.

[Munin]

Someone в сообщении #420312 писал(а):

Если аксиомы выбора нет, то мощности множеств могут быть несравнимыми.

Ф-ух. Спасибо.

[erwins]

Большое спасибо за разъяснения...

т.е. аксиомы выбора следует не существование промежуточного множества между счетным и конечным.

Тогда продолжение вопроса - неразличимость элементов как связана с аксиомой выбора?

[Someone]

erwins в сообщении #421044 писал(а):

т.е. аксиомы выбора следует не существование промежуточного множества между счетным и конечным.

Что-то Вы как-то странно всё поняли. Мощности, большей всех конечных, но меньшей счётной, не существует независимо от аксиомы выбора, просто потому, что всякое подмножество счётного множества либо конечно, либо счётно. Аксиому выбора я совсем по другому поводу упомянул.

erwins в сообщении #421044 писал(а):

Тогда продолжение вопроса - неразличимость элементов как связана с аксиомой выбора?

Какая "неразличимость элементов"? В теории множеств все элементы различимые.