2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Решение задач из учебника Кострикина
Сообщение03.03.2011, 14:01 
Аватара пользователя
В виду того, что уже не раз обращался за помощью с решением задач из учебника "Основы алгебры" Кострикина решил создать соответствующую тему.

Вот не могу справится с следующей задачей:
"Показать что выполнено соотношение: $\left(A^{\vee}\right)^{\vee}=\left(\det A\right)^{n-2}A$" (где под $A^{\vee}$ понимается матрица присоединенная к $A$)

Мне думается что решение должно быть довольно простым (учитывая что данная задача стоит среди довольно примитивных заданий), но что-то сообразить не могу как это сделать. Можно конечно, вспомнив определение присоединенной матрицы, попробовать доказать это в лоб, но определитель определителей это довольно жуткая запись. Наверняка предполагается более элегантное решение. Есть какие ни будь идеи как это сделать?

 
 
 
 Re: Решение задач из учебника Кострикина
Сообщение03.03.2011, 14:11 
Используйте то, что $A^{\vee}=(\det A) A^{-1}$.

 
 
 
 Re: Решение задач из учебника Кострикина
Сообщение03.03.2011, 14:15 
Diom в сообщении #419243 писал(а):
Мне думается что решение должно быть довольно простым

Оно, можно сказать, вообще тривиально, если в лоб:

$A^{\vee}=\det A\cdot\left(A^{-1}\right)^T;$

$\left(A^{\vee}\right)^{\vee}=\det\left(\det A\cdot\left(A^{-1}\right)^T\right)\cdot\left(\left(\det A\cdot\left(A^{-1}\right)^T\right)^{-1}\right)^T=$
$=\left((\det A)^n\cdot\det A^{-1}\right)\cdot\left((\det A)^{-1}\cdot A\right).$

 
 
 
 Re: Решение задач из учебника Кострикина
Сообщение03.03.2011, 14:19 
ewert в сообщении #419248 писал(а):
$A^{\vee}=\det A\cdot\left(A^{-1}\right)^T;$

А транспонировать зачем? Присоединённая она уже протранспонированная. Да, тут еще со случаем $\det A=0$ надо разобраться. Предельным переходом, например. А потом уже вывод сделать, что это многочленное тождество (т.е. выполняется, когда вместо чисел буквы стоят).

 
 
 
 Re: Решение задач из учебника Кострикина
Сообщение03.03.2011, 14:28 
Аватара пользователя
Padawan в сообщении #419250 писал(а):
Да, тут еще со случаем $\det A=0$ надо разобраться.
[/quote]
А нужно ли? Присоединенная матрица определена вроде бы лишь в случае когда определитель не равен нулю.

Благодарю. Решение действительно оказалось тривиальным. И как я сам не догадался... :oops:

 
 
 
 Re: Решение задач из учебника Кострикина
Сообщение03.03.2011, 14:40 
Diom в сообщении #419253 писал(а):
А нужно ли? Присоединенная матрица определена вроде бы лишь в случае когда определитель не равен

Присоединённая матрица определена всегда -- это транспонированная матрица из алгебраических дополнений.

 
 
 
 Re: Решение задач из учебника Кострикина
Сообщение03.03.2011, 14:48 
Padawan в сообщении #419250 писал(а):
А транспонировать зачем? Присоединённая она уже протранспонированная.

Вариант определения, при котором присоединённая -- это недотранспонированная, надёжнее и проще при ручном вычислении. В данной задаче, правда, такой вариант усложняет выкладки, но уж что выбрано -- то выбрано. Впрочем, можно было бы ввести $\widetilde A=\left(A^{\vee}\right)^T$ (т.е. так, чтобы было $A^{-1}=\frac{1}{\det A}\widetilde A$), доказать утверждение для $\widetilde A$ и указать на то, что при двукратном применении транспонирование всё равно сократится.

 
 
 
 Re: Решение задач из учебника Кострикина
Сообщение03.03.2011, 14:56 
ewert в сообщении #419259 писал(а):
И, кстати, обязательно нужно ещё не забыть отдельно оговорить случай $n=2$.

Зачем?
А как Вам такой маневр, чтобы обойти $\det A=0$? Рассмотреть матрицы над полем частных кольца многочленов от $n^2$ переменных $a_{11}, a_{12},\ldots, a_{nn}$. Тогда $\det A\neq 0$.

 
 
 
 Re: Решение задач из учебника Кострикина
Сообщение03.03.2011, 15:20 
Padawan в сообщении #419263 писал(а):
Зачем?

Да так, это я о своём, о девичьем. Хотелось всё-таки обойтись без предельных переходов, используа чисто "геометрические" соображения. Да только как-то ничего толкового в голову не приходит. Видимо, Вы правы, с предельным переходом проще всего. Только там полиномиальность не при чём, достаточно просто непрерывности обеих частей равенства.

Padawan в сообщении #419263 писал(а):
А как Вам такой маневр, чтобы обойти $\det A=0$? Рассмотреть матрицы над полем частных кольца многочленов от $n^2$ переменных $a_{11}, a_{12},\ldots, a_{nn}$. Тогда $\det A\neq 0$.

Ну это уже что-то совсем чудовищное.

 
 
 
 Re: Решение задач из учебника Кострикина
Сообщение03.03.2011, 16:22 
Аватара пользователя
Padawan в сообщении #419255 писал(а):
Присоединённая матрица определена всегда -- это транспонированная матрица из алгебраических дополнений.

Согласен. Это я глупость сказал :-)

Цитата:
Вы правы, с предельным переходом проще всего.

Но знание предельных переходов не предполагается, на сколько я могу судить, у студентов первого курса начала первого семестра. (Впрочем, я допускаю мысль, что Кострикин об этом не подумал :mrgreen: )

Хотя очевидно, что данное соотношение не имеет смысла при вырожденной матрице A и $n\leq2$. В то время как при n>2 его можно попробовать доказать, показав, что $A^{\vee\vee}=0$.

 
 
 
 Re: Решение задач из учебника Кострикина
Сообщение03.03.2011, 16:26 
Чем Вам $n=2$-то не угодило?...

 
 
 
 Re: Решение задач из учебника Кострикина
Сообщение03.03.2011, 16:41 
Аватара пользователя
Выглядит не кошерно :mrgreen: Шучу конечно. На автомате написал. При n=2 легче тогда просто в лоб рассмотреть (так как в этом случае присоединенная матрица есть матрица A с переставленными коэффициентами и модифицированными знаками, ну а "вторая" присоединенная очевидно будет равна самой матрице A, так как все переставляется обратно). Но решение получается какое-то совсем уж не элегантное :cry:

 
 
 
 Re: Решение задач из учебника Кострикина
Сообщение03.03.2011, 19:33 
Я тут всё-таки подумал. Вот как надо расправляться со случаем вырожденных матриц. Если ранг такой матрицы меньше $(n-1)$, т.е. если любые $(n-1)$ строк матрицы линейно зависимы, то уже первая присоединённая матрица является нулевой. Если же ранг равен $(n-1)$, то срабатывает то обстоятельство, что любая строка присоединённой матрицы "ортогональна" всем строкам исходной, а говоря аккуратнее -- принадлежит ядру исходной, которое одномерно. Говоря попросту, все строки присоединённой матрицы в этом случае пропорциональны друг дружке и, следовательно, вторая присоединённая уже нулевая.

Случай $n=2$ при этом приходится, конечно, рассматривать отдельно, но он и очевиден.

Этот способ и проще, чем с предельными переходами, и идейнее, и, что главное, применим вообще к любым полям, в т.ч. и конечным.

 
 
 
 Re: Решение задач из учебника Кострикина
Сообщение03.03.2011, 23:05 
А мой способ с полем частных кольца $\mathbb Z [a_{11},\ldots,a_{nn}]$ ещё проще. Надо третью сторону спросить :-)

 
 
 
 Re: Решение задач из учебника Кострикина
Сообщение03.03.2011, 23:22 

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #419433 писал(а):
А мой способ с полем частных кольца $\mathbb Z [a_{11},\ldots,a_{nn}]$ ещё проще.

а хто такой кольца, да истчо и Зэт?...

 
 
 [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group