Для каждого простого числа

существует бесконечно много натуральных чисел, кратных

, у каждого из которых все последние 10 цифр (в десятичной записи) являются попарно различными. Доказать.
Я предлагаю следующее решение:
(Оффтоп)
Рассмотрим бесконечную (в одну сторону) арифметическую прогрессию, состоящую из всех натуральных чисел вида

, где

- ЦНЧ (целое неотрицательное число).
Все
члены элементы этой прогрессии кратны двум и пяти, так что для

и для

задача уже решена.
Если

отличается от 2 и 5, то разность прогрессии взаимно проста с

, следовательно в прогрессии встретятся все возможные остатки при делении на

(это надо здесь доказывать? а на олимпиаде?), причём каждый из них - бесконечно много раз.
Вроде, всё?
В книге "Putnam and beyond" предлагаются два иных решения, одно из которых опирается на МТФ.