теор.чисел, предел последовательности

[myra_panama]

Найти все положительные числа x , для которых выполняется условия
$\lim\limits_{n \to \infty}x^n${$x^n$}=0
мм .. с чего начинать..

(Оффтоп)

с теор.чисел у меня не так...

[bot]

Начать лучше с понятного условия. Какую роль играют два $x^n$? Один раз под лимитом - это ясно, а что второй делает, зачем он присел и в фигурные скобки оделся?
Ещё одна непонятка - каким боком здесь теория чисел прислонилась?

[myra_panama]

кстати {$x^n$} это дробная часть x.

[MrDindows]

Это ясно, но почему оно расположено под $x^n$ ?)
Там должно быть так: $x^n\{x^n\}$ ?

[myra_panama]

MrDindows в сообщении #417237 писал(а):

Это ясно, но почему оно расположено под $x^n$ ?)
Там должно быть так: $x^n\{x^n\}$ ?

правильно написали , у меня опечатка.. это будеть так:
$x^n\{x^n\}$

[ИСН]

А с "простым" $\lim\limits_{n \to \infty}\{x^n\}=0$ уже всё понятно?

[mihailm]

myra_panama в сообщении #417224 писал(а):

кстати {$x^n$} это дробная часть x.

при любом n?

[Ales]

Думаю, что это все числа меньше 1.
И целые числа, конечно.

-- Пт фев 25, 2011 22:24:25 --

Думаю, что для доказательства важно, что надо оценивать именно произведение степени и дробной части степени.

[Хорхе]

ИСН в сообщении #417246 писал(а):

А с "простым" $\lim\limits_{n \to \infty}\{x^n\}=0$ уже всё понятно?

Вроде не так давно была open problem.

[RIP]

Собственно, ответ уже был озвучен, а решение может быть таким. Пусть $x>1$. Рассмотрим последовательность $a_n=\lfloor x^n\rfloor=x^n+o(x^{-n})\in\mathbb Z$ (здесь $\lfloor\cdot\rfloor$ --- целая часть). Тогда $\lim_{n\to\infty}(a_{n+1}a_{n-1}-a_n^2)=0$, откуда $a_{n+1}a_{n-1}-a_n^2=0$ при $n\ge n_0$, то есть $a_n$ есть геометрическая прогрессия (начиная с какого-то момента). Знаменатель равен $\lim_{n\to\infty}a_{n+1}/a_n=x$, то есть для больших $n$ имеем $a_n=c x^n$, где $c=\lim_{n\to\infty}a_nx^{-n}=1$. Таким образом, получаем, что $x=a_{n+1}/a_n\in\mathbb Q$ и $x^n=a_n\in\mathbb Z$, откуда $x\in\mathbb N$. Как-то так.

[myra_panama]

RIP в сообщении #417427 писал(а):

то есть $a_n$ есть геометрическая прогрессия (начиная с какого-то момента)

извините как то туплю...

(Оффтоп)

с какого момента начнет геом.прог

[RIP]

с того, с которого $a_{n-1}a_{n+1}=a_n^2$