Интеграл Отношения многочленов

[Core2Duo]

Не могу понять за что зацепиться. Надо найти неопределенный интеграл отношения, но перед этим обязательно оптимизировать выражение,упростить. Кто что думает ?
PS проблема заключается в упрощении, на этом этапе и я ушел в ступор )))

$(x^2+6*x-4)/((x-2)^2 * (x+3))$

[caxap]

Куда ещё упрощать? Раскладывайте на простейшие дроби и их интегрируйте.

[Core2Duo]

А если без раскладывания ???
Препод явно не оценит такой тривиальный подход ))

[ИСН]

А зачем?

[Core2Duo]

ИСН в сообщении #416967 писал(а):

А зачем?

а за тем, что я б не обратился сюда,если бы считал достаточным разложить. тем более бы в дроби степень числителя меньше степени знаменателя... сокращаем - получаем дробь в знаменателе и длинный некрасивый ответ.

[ИСН]

Ну, тут есть два ответа: такой и неправильный. Вы какой предпочитаете?

[Core2Duo]

раз один уже был дан, то не буду же я его еще раз спрашивать, правильно ? :) слушаю внимательно

[ewert]

Упростить невозможно.

(понимайте как хотите: то ли буквально невозможно, то ли овчинка выделки не стоит, даже если что-то и удастся; но что невозможно -- то факт)

[Core2Duo]

НУ :)) ладно... вы пришли к тому же выводу, что и я.

[myra_panama]

caxap в сообщении #416961 писал(а):

Куда ещё упрощать? Раскладывайте на простейшие дроби и их интегрируйте.

Правильно надо так сделать.....
Раскладывая получаем очень простые интегралы...

[gris]

Я часто упрощаю подобные интегралы путём выделения в числителе производной знаменателя. Например:

$$\int\dfrac{3x^2+6x-9}{(x+3)^2(x-3)}\,dx=\int\dfrac{3x^2+6x-9}{x^3+3x^2-9x-27}\,dx=$$

$$=\int\dfrac{(x^3+3x^2-9x-27)'\,dx}{x^3+3x^2-9x-27}=\ln|(x+3)^2(x-3)|+C$$

Кто скажет, что это не упрощение?

[ewert]

gris в сообщении #417056 писал(а):

$=\ln|(x+3)^2(x-3)|+C$

Откуда следует, что числитель со знаменателем сокращаются; видимо, это и имелось в виду под "упрощением". Ну всё равно издевательство.

[spaits]

ewert в сообщении #417062 писал(а):

gris в сообщении #417056 писал(а):

$=\ln|(x+3)^2(x-3)|+C$

Откуда следует, что числитель со знаменателем сокращаются; видимо, это и имелось в виду под "упрощением". Ну всё равно издевательство.

Не слыхали ничего про формулу $\int\dfrac{u'dx}{u}=\ln|u|+C$?

[ewert]

spaits в сообщении #417065 писал(а):

Не слыхали ничего про формулу

Это ещё хуже. Это -- гадание на кофейной гуще, в то время как проверку на сокращаемость можно рассматривать как хоть чуть-чуть, но стандартный приём. Другое дело, что практически и он тоже бесполезен.

[gris]

Ну если уж приспичило преобразовать выражение, то почему бы и не погадать?

Вообще, если рассматривать браньё интегралов как отдельный вид спорта, то можно найти немало остроумных и эффектных приёмов, срабатывающих в очень частных случаях. Для практических целей важно научиться стандартным приёмам и умению использовать справочники.

Но для эстетизьму можно и уникальные подстановки применять
Мы же тут спорим, какой отступ лучше применять после запятой или перед $dx$, как красивее оформить дробь, хотя для вопрошающего это не имеет никакого значения, ибо он всё равно перепишет это в тетрадь. Но, тем не менее, это придаёт какое-то очарование.

Да и умение пользоваться $\TeX$-ом тоже может пригодиться в жизни.