Отрицательные корни

[Gortaur]

Как доказать, что если все корни многочлена $x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ имеют отрицательную действительную часть, то $a_i>0$? Здесь предполагается что коэффициенты действительные. Думаю не должно быть сложно - но не выходит. Не подскажите идею?

[ИСН]

ну там кагбе надо раскрыть скобки в выражении $(x-x_1)(x-x_2)...$ (возможно, сначала попарно собрав комплексно сопряжённые корни), и получится, что все эти самые стопудово плюс.
кстати, обратное неверно.

[ewert]

ИСН в сообщении #416586 писал(а):

возможно, сначала попарно собрав комплексно сопряжённые корни

Не возможно, а непременно. И, для приличия -- по индукции.

[Gortaur]

Обратное неверно, ага. Спасибо за совет, уже работал над этим

[mihailm]

ewert в сообщении #416589 писал(а):

Не возможно, а непременно. И, для приличия -- по индукции.

(Оффтоп)

Трансфинитной естественно