Производящая ф-я для "околоцентральных" биномиальных коэф-ов

[deep blue]

Как записать производящую функцию для последовательности "околоцентральных" биномиальных коэффициентов (где отклонение от центра - k, заданно)?
$C^{0+k}_0,C^{1+k}_2,C^{2+k}_4,C^{3+k}_6,...,C^{n+k}_{2n},...$

Вопрос возник из следующей задачи, решение которой частично перекрывается им.
"Рассмотрим множество путей на прямой, состоящих из шагов длины 1 вправо или влево. Найдите производящую функцию для числа таких путей из n шагов, начинающихся в 0 и оканчивающихся в фиксированной точке N>0." (Далее будем считать, что N может быть и нулем)
Другими словами, требуется найти производящую функцию для последовательности $a^N_0,a^N_1,...,a^N_n,...$
$a^N_n=\begin{cases} C^{(n-N)/2}_n \text{, если } n-N \text{ четно }\\ 0 \text{, если } n-N \text{ нечетно или меньше нуля } \end{cases}$.
Пусть $N=0$, тогда последовательность примет вид $C^0_0,0,C^1_2,0,C^2_4,0,C^3_6,...,C^{n/2}_n,...$
Производящая функция для центральных биномиальных коэффициентов известна и равна $\frac 1 {\sqrt{1-4x}}$, поэтому производящая функция для нашей последовательности будет $A_0(x)=\frac 1 {\sqrt{1-4x^2}}$
Пусть $N=1$, тогда последовательность примет вид $0,\frac 1 2 {C^1_2},0,\frac 1 2 {C^2_4},0,\frac 1 2 {C^3_6},0,\frac 1 2 {C^4_8},...,\frac 1 2 {C^{(n+1)/2}_{n+1}} ,...$
то есть, несколько сдвинутая предыдущая последовательность, а именно $A_1(x)=\frac {A_0(x)-1} {2s}$
Пусть $N=m$.
Для чисел $a^N_n$ как и для биномиальных коэффициентов выполняется тождество $a^N_m=a^{N}_{m-1}+a^{N-1}_{m-1}$ поэтому $A_m(x)=\frac 1 s {A_{m-1}(x)}-A_{m-2}(x)$
Таким образом, не сложно вывести производящую функцию рекурренто для любого заданного N.
Можно ли написать эту функцию в общем виде и нет ли более простого решения?
Я пробую так- формально приравниваю - $b_0=A_0(x)$, $b_1=A_1(x)$, $b_r=x^{-1}b_{n-1}-b_{n-2}$
Далее нахожу общий вид формулы для последовательности $b_r$, при заданных(как бы постоянных) $b_0$, $b_1$, $x$. Затем подставляю вместо них соответствующие функции (вместо $x$ так и остается $x$), а вместо индекса r подставляю N. В итоге получается общий вид $A_N(x)$.

[Sonic86]

А что такое $s$?
А сам метод правильный.

[deep blue]

Я там перепутал- делится не на s, а на x, конечно.
Да, метод работает. Для проверки установил пакет maple, который здорово облегчил жизнь, правда, формулы получились бестолковые.
Задаю начальные условия, такие же, как писал ранее(только вместо x везде s) и maple выдает ответ.
Производящая функция для числа путей, от двух переменных(степень при s - длина пути, а степень при x - отклонение):
$ A(x,s)={\frac {2\,xs-{x}^{2}-{x}^{2} \sqrt{1-4\,{s}^{2}}}{2 \sqrt{1-4\,{s }^{2}} \left( s-x+{x}^{2}s \right) }} $
Производящая функция для числа путей, от одной переменной и параметра n (отклонения от центра):
$ A_n(s)=\frac {\left( 4\,{s}^{2}+2\,{s}^{2} \sqrt{1-4\,{s}^{2}}-1- \sqrt{1-4\,{s}^{2 }} \right) } {{s} \left( \sqrt{- \left( 2\,s-1 \right) \left( 2\,s+1 \right) } \right) \left( \sqrt{1-4\,{s}^{2}} \right) \left( -1- \sqrt{1-4\,{s}^{2}} \right) } \left( -2\,{\frac {s}{-1- \sqrt{1-4\,{s}^{2}}}} \right) ^{ n} $
Связь между ними должна быть типа такой
$A(x,s)= A_0(s)+A_1(s)x+A_2(s)x^2+...$
Функция для “околоцентральных” коэффициентов $C^{0+k}_0,C^{1+k}_2,C^{2+k}_4,C^{3+k}_6,...$ будет такой:
$ \frac {A_{k+1}(\sqrt{s})-A_{k+1}(-\sqrt{s})} 2 $.
Для двумерного случая аналогично. В целом двумерные функции выглядят попроще.