Фактор кольцо/изоморфизм колец

[SHIMA91]

Помогите пожалуйста с задачей
При каких a и b факторкольца $Z_2 [x]/((x^2)+ax+b) $изоморфны между собой.

Подкиньте плиз еще примеры построения фатор-колец, фактор групп, изоморфизм циклических групп.

[bot]

Вы дали только одно фактор-кольцо. Между самим собой изоморфизм есть всегда.

[Профессор Снэйп]

А зачем $x^2$ в скобках?

Поскольку у нас всё происходит над $\mathbb{Z}_2$, то $a,b \in \mathbb{Z}_2$ и нужно всего лишь перебрать четыре возможных пары.

(Оффтоп)

Дальше была ерунда, стёр

[SHIMA91]

В смысле, как их перебрать?

[id]

Подставить конкретные значения в образующую идеала, по которому вы факторизуете.
Например, в одном случае сразу получится поле $\mathbb F_4$...

[SHIMA91]

$a = b = 0 Z_2[x] /x^2$ изоморфно? или нет как это понимать, что должно выполнится что бы они были изоморфны(сохранение операции над многочленами вида X^2 + * так) как могут выглядеть многочлены в током фактор кольце?

[id]

... изоморфно чему? Можно говорить о том, что одно кольцо (поле, etc. ) изоморфно/неизоморфно другому кольцу (полю, etc. )
Например, $\mathbb Z_2 [x]$ ну никак не может быть изоморфно $\mathbb Z_2 [x] / (x^2)$, банально из-за разного числа элементов в этих кольцах.

[SHIMA91]

фактор кольцо $Z_2[x]/x^2 $ изоморфно самому себе? Как это обосновать так, что бы препод поверил что я понимаю о чем говорю

[VAL]

SHIMA91 в сообщении #415206 писал(а):

Как это обосновать так, что бы препод поверил что я понимаю о чем говорю

Самое надежное - понимать о чем говорите.

[Профессор Снэйп]

SHIMA91 в сообщении #415206 писал(а):

фактор кольцо $Z_2[x]/x^2 $ изоморфно самому себе?

С какой это радости?

SHIMA91 в сообщении #415206 писал(а):

Как это обосновать так, что бы препод поверил что я понимаю о чем говорю

Перевестись на гуманитарный факультет

Кстати, вот это кольцо: $\mathbb{Z}_2[x]/(x^2) \cong \mathbb{Z}_2[x]/(x^2+1)$... Первый раз такое вижу. Если положить $\mathbf{0} = 0/(x^2)$, $\mathbf{1} = 1/(x^2)$, $\mathbf{a} = x/(x^2)$ и $\mathbf{b} = \mathbf{1} + \mathbf{a} = x+1/(x^2)$, то по сложению получается группа $\mathbb{Z}_2^2$ (с образующими, к примеру, $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$), но умножение какое-то странное: $\mathbf{a}^2 = \mathbf{0}$, $\mathbf{b}^2 = \mathbf{1}$, $\mathbf{a}\mathbf{b} = \mathbf{a}$. Это кольцо имеет какое-нибудь специальное название?

P. S. В двух других случаях получаются кольцо $\mathbb{Z}_2^2$ и поле $\mathbb{F}_4$, с ними вроде как всё понятно...

[id]

Профессор Снэйп

(Оффтоп)

А вы увидели изоморфизм $\mathbb{Z}_2[x]/(x^2) \cong \mathbb{Z}_2[x]/(x^2+1)$ исходя из $\mathbb Z_2[x] \cong \mathbb Z_2[x+1]$ и $x^2+1 = (x+1)^2$ в $\mathbb Z_2$ $\Rightarrow \mathbb Z_2[x] / (x^2) \cong \mathbb Z_2 [x+1] / ((x+1)^2) \cong \mathbb Z_2[t]/(t^2)$?

[Профессор Снэйп]

id в сообщении #415262 писал(а):

(Оффтоп)

А вы увидели изоморфизм $\mathbb{Z}_2[x]/(x^2) \cong \mathbb{Z}_2[x]/(x^2+1)$ исходя из $\mathbb Z_2[x] \cong \mathbb Z_2[x+1]$ и $x^2+1 = (x+1)^2$ в $\mathbb Z_2$ $\Rightarrow \mathbb Z_2[x] / (x^2) \cong \mathbb Z_2 [x+1] / ((x+1)^2) \cong \mathbb Z_2[t]/(t^2)$?

Ну да,оттуда и увидел. Только надо ещё отметить, что $(x+1)+1 = x$, потому что в $\mathbb{Z}_2$ всё происходит.

Но потом на всякий случай выполнил прямую проверку. Сошлось

[VAL]

Профессор Снэйп в сообщении #415256 писал(а):

SHIMA91 в сообщении #415206 писал(а):

фактор кольцо $Z_2[x]/x^2 $ изоморфно самому себе?

С какой это радости?

Теперь уже я ничего не понимаю!
А что, бывают кольца не изоморфные самим себе?!
Т.е. тождественное отображение - не изоморфизм и отношение изоморфности не рефлексивно?!

PS: Или мне тоже на гуманитарный факультет пора...

[Профессор Снэйп]

VAL в сообщении #415272 писал(а):

Теперь уже я ничего не понимаю!
А что, бывают кольца не изоморфные самим себе?!
Т.е. тождественное отображение - не изоморфизм и отношение изоморфности не рефлексивно?!

PS: Или мне тоже на гуманитарный факультет пора...

И не поймёте, я сам не понимаю. Человек обычно читает начало и конец фразы, а когда читаешь в конце, какие у человека проблемы, и вникаешь в их суть, начало забывается

[Руст]

Точнее $Z_2[x]/(x^2)$ изоморфно $Z_2[y]/(y^2+1)$ изоморфизм переводит $x$ в $y+1$.
Другие кольца не изоморфны. Соответственно всего 3 неизоморфных кольца. Все с элементами $0,1,x,x+1$ с умножениями:
1. $x^2=0$,
2. $x^2=x$,
3. $x^2=x+1$ - поле из 4-х элементов.