Найти матожидание

[orsobruno]

Цитата:

Речь идет о совместном наступлении событий

правильно, но Вы написали матожидание для одного кубика, как правильно отметил PAV.

Давайте представим дальше, что выпадение 4 на кубике дает еще возможность 6 раз бросить кубик.

Очевидно, что мы получим рекуррентное уравнение для математического ожидания игры в кубики. Как оценить это матожидание с определенной точностью?

[PAV]

Правильно ли я понимаю, что каждый раз выпадение 4 дает право еще на 6 бросков, если выпало две четверки - то игрок может бросить кубик еще 12 раз? И в дальнейшем все то же самое, то есть потенциально число бросков может быть бесконечным? Тогда уже становится интереснее.

[orsobruno]

Цитата:

Правильно ли я понимаю

Да, верно.

[PAV]

Эту задачу легко решить точно, но нужно быть готовым к тому, что математическое ожидание может быть бесконечным.

Основу решения составляет идея "самоподобия". Если рассмотреть процесс, идущий по Вашим правилам, и начинающийся с 6 бросаний кубиков, то каждое выпадение 4 порождает одну копию точно такого же процесса. Это позволяет составить уравнение на интересующие Вас величины и найти их.

Конкретно: обозначим через $M$ искомое математическое ожидание числа очков, выпавших в ходе процесса, который начинается с 6 бросаний (про монету пока забыли). Также обозначим через $p_0,p_1,\ldots,p_6$ вероятности: $p_k$ - это вероятность того, что при 6 бросаниях выпадет ровно $k$ четверок. Эти вероятности находятся по схеме Бернулли: 6 испытаний, вероятность "успеха" в одном испытании равна $\frac16$.

Величина $M$ складывается из математического ожидания числа очков, которые выпадут при начальных 6 бросаниях, и числа очков, которые привнесут последующие бросания, порожденные выпадением четверок. Это дает следующее уравнение:

$$M=6\cdot 3.5+\sum_{k=1}^6p_kkM$$

Вот его и решите. Если коэффициент при $M$ в правой части окажется больше или равен 1, то это означает, что математическое ожидание бесконечно.

-- Вс фев 20, 2011 16:23:41 --

Однако же и без вычислений на самом деле видно, что коэффициент при $M$ в правой части равен математическому ожиданию числа успехов в указанной схеме Бернулли, то есть ровно 1. Поэтому математическое ожидание бесконечно.

[PAV]

Я в предыдущем сообщении забыл коэффициент 6 перед 3.5, исправил.

На самом деле, то же уравнение можно записать проще и понятнее в следующем виде:

$$M=6\left(3.5+\frac16M\right)$$

Здесь совсем наглядно видно, какой из параметров задачи за что в уравнении отвечает.

[orsobruno]

Продолжаю разбираться с основами теории вероятности. Не могу понять как правильно считать матожидание в таком случае:

Допустим есть кубик, выпадение на кубике 6, дает возможность бросить монету 5 раз, игрок может и не бросить ее или бросить 2 раза из 5, например. Монета разбалансированна: орел выпадает с вероятностью 0.9, каждое выпадение орла удваивает выигрышь на кубике, выпадение решки обнуляет выигрышь. Нужно найти уравнение мат ожидания.

Исходя из условий задачи, понятно что речь идет о произведении в уравнении вероятности, если отбросить случайную величину выбора игрока, бросать ли монету, тогда это выглядело бы так...

MO_1 - мат.ожидание игры с монетой = 1.8,
MO_2 - соответственно мат ожидание 5 бросаний = произведению MO_1, выполненное 5 раз, соответственно искомое уравнение: MO_2 = MO_1^5

MO = 1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6 * MO_2

Написал простенький тест, например для случая с возможностью 1 раз бросить монету, результат MO_2 = приблизительно 1.4. Что заставило меня задуматься, а в итоге спросить у профессионалов ))