Парадоксы СТО+теория великого объединения

[Котофеич]

Да, конечно Someone нас выручил и считать ничего не надо. Спасибо
Someone. Тем не менее, все тривиально только в случае обычных близнецов.
Но в рассматриваемом случае, первая система координат исчезнет. Тем самым
не будет никакого преобразования от одной системы координат к другой.
И что прикажете с этим делать

[Аурелиано Буэндиа]

Котофеич писал(а):

Тем не менее, все тривиально только в случае обычных близнецов.
Но в рассматриваемом случае, первая система координат исчезнет. Тем самым
не будет никакого преобразования от одной системы координат к другой.
И что прикажете с этим делать

То что Вы говорите не имеет никакого отношения к парадоксу близнецов. Это какая то другая задача, которую, как мне кажется, Вы формулируете некорректно. Чтобы обсуждать парадокс близнецов у Вас должно быть как минимум два наблюдателя.

[Котофеич]

Someone писал(а):

Котофеич, никак я не пойму, чего Вы мучаете Аурелиано Буэндиа? Зачем Вы его заставляете что-то считать?
Собственное время - это просто длина мировой линии. Она инвариантна относительно замены системы координат.
"Парадокс" близнецов означает, просто-напросто, что две мировые линии, начинающиеся и оканчивающиеся в одних и тех же точках, могут иметь разную длину. Чего в этом странного и удивительного? Если мы в одной системе координат вычислили их длины и получили какую-то разницу, то и в другой системе координат будет то же самое.

Где-то я видел рассмотрение этой ситуации на основе ОТО, даже с картинками, но не могу вспомнить, где именно. В следующей книге эта задача даётся в качестве упражнения.

Ч.Мизнер, К.Торн, Дж.Уилер. Гравитация. Том 1. Москва, "Мир", 1977.

У Мизнера речь идет о более простой ситуации, когда рассматриваются псевдоримановы пространства без края. В данном случае второй наблюдатель должен
наблюдать обрыв мировых линий всех внешних объектов, что означает образование
Лоренцева многообразия M с краем W(M) или что то типа этого. Таким образом исходное Лоренцево многообразие может в общем случае оказаться даже не связным

[Котофеич]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

То что Вы говорите не имеет никакого отношения к парадоксу близнецов. Это какая то другая задача, которую, как мне кажется, Вы формулируете некорректно. Чтобы обсуждать парадокс близнецов у Вас должно быть как минимум два наблюдателя.

А я и не говорил, что формулировка заведомо корректно. Просто я нутром чую что
у Вайнберга что то не вяжется с обычной ОТО

[Аурелиано Буэндиа]

Котофеич писал(а):

У Мизнера речь идет о более простой ситуации, когда рассматриваются псевдоримановы пространства без края. В данном случае второй наблюдатель должен
наблюдать обрыв мировых линий всех внешних объектов, что означает образование
Лоренцева многообразия M с краем W(M) или что то типа этого. Таким образом исходное Лоренцево многообразие может в общем случае оказаться даже не связным

Не понимаю, какую роль играет край в парадоксе близнецов? Приведите, пожалуйста, конкретный пример... А вообще, любопытно еще было бы обсудить парадокс близнецов в пространствах с нетривиальной топологией. Например, на цилиндре $(t,x)\in \mathbb{R}\times \mathbb{S}^1$...

[Someone]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

А вообще, любопытно еще было бы обсудить парадокс близнецов в пространствах с нетривиальной топологией. Например, на цилиндре $(t,x)\in \mathbb{R}\times \mathbb{S}^1$...

А какая разница? Пусть $l$ - длина окружности. Пусть начальная точка $(0,0)$, конечная - $(0,T)$, причём, первый близнец покоится, то есть, в момент $t$ находится в точке $(0,t)$, а второй - движется со скоростью $v=\frac lT$, так что его положение в момент $t$ есть $(vt\pmod l,t)$. В момент $T$ второй близнец как раз окажется в точке $(0,T)$. Собственное время первого в этот момент равно как раз $T$, а второго - $\sqrt{T^2-\frac{l^2}{c^2}}=T\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}$.

Если делать преобразование Лоренца прямо на цилиндре, то можно запутаться. Поэтому мы разрежем цилиндр по образующей $x=0$, развернём на плоскость и продолжим всё за пределы полученной полосы периодически. На плоскости в момент времени $t$ второй близнец будет находиться в точке $(vt,t)$; в частности, в момент $T$ он будет в точке $(l,T)$.

Перейдём в систему отсчёта второго близнеца. Новые координаты $(x',t')$ связаны со старыми $(x,t)$ преобразованиями Лоренца: $x=\frac{x'+vt'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$, $t=\frac{t'+\frac v{c^2}x'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$; обратные преобразования: $x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$, $t'=\frac{t-\frac v{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$. Новая координата $x'$ не является периодической: равенству $(x+l,t)\sim(x,t)$ соответствует равенство $(x'+\frac l{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},t'-\frac{vl}{c^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}})\sim(x',t')$. Отождествив эквивалентные точки, получим тот же самый цилиндр, но новые оси координат $Ox'$ и $Ot'$ обвивают этот цилиндр спиралями.

Соответствие точек $(x,t)\to(x',t')$: $(0,0)\to(0,0)$, $(0,T)\to(-\frac{vT}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},\frac T{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}})$, $(l,T)\to(\frac{l-vT}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},\frac{T-\frac v{c^2}l}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}})$. Легко проверить, что получаются те же длины мировых линий, что и в системе отсчёта первого близнеца.

[Dolopihtis]

Тут где-то ранее уже обсуждался вопрос о преобразованиях Лоренца на цилиндре.
У Аурелиано Буэндиа была ссылка на статью , в которой утверждалось , что на цилиндре существует выделенная система отчета, а именно та, координатная сетка которой не "навивается" на цилиндр, а совпадает с образующими. Лично я так и не понял, насколько это утверждение верно.

[Аурелиано Буэндиа]

Давайте я вначале сформулирую сам парадокс близнецов на цилиндре:

Рассмотрим 2-е инерциальные системы отсчета, двигающиеся относительно друг друга со скоростью $v$ и 2-а наблюдателя. Пусть длина оси $x$ в первой с.о. равна $l$, тогда подвижный наблюдатель делает оборот за время $l/v$. Собственное время подвижного наблюдателя, совершившего полный оборот, будет равно $(l/v)\sqrt{1-v^2}$. В чем же парадокс? Парадокс в том, что интуиция подсказывает, что те же самые рассуждения справедливы и относительно другого наблюдателя. Т.е. длина оси $x'$ для другого наблюдателя будет также равна $l$ и, если при первой встрече наблюдатели синхронизировали свои часы, то при второй встрече каждый наблюдатель будет ожидать, что его собственные часы покажут большее время. В чем же загвоздка?

Да, была статья на эту тему. Я попробую ее найти.

[Аурелиано Буэндиа]

Еще один забавный факт: если на цилиндре отождествлять точки $(0,t) \sim (l,t+\tau)\ \forall t$, где $\tau>l$ ($c=1$), то причинное будущее имеет ненулевое пересечение с причинным прошлым.

[Котофеич]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Не понимаю, какую роль играет край в парадоксе близнецов? Приведите, пожалуйста, конкретный пример... А вообще, любопытно еще было бы обсудить парадокс близнецов в пространствах с нетривиальной топологией. Например, на цилиндре $(t,x)\in \mathbb{R}\times \mathbb{S}^1$...

Для того чтобы говорить о реальном физическом замедлении времени, необходимо иметь возможность сравнить показания часов, в момент встречи. В обычном
парадоксе близнецов это условие выполнено по определению. Однако если к моменту
возвращения второго братца в окрестность исходной точки, все часы разрушились под воздействием фантомной энергии, то сравнить показания часов невозможно и соответственно
невозможно говорить о физическом замедлении времени. Единственное, что может сказать
совершенно определенно второй братец, это то что при развороте ракеты, он наблюдал ускоренное разрушение материи вплоть до точечных частиц, в окружающем пространстве.
Но теперь объяснить это явление именно замедлением времени, с физической точки зрения, уже невозможно. Получается, что с точки зрения второго, большой разрыв был вызван поворотом его ракеты Устранить эту ситуацию, можно только, предположив, что эффект
замедления времени, в космологической модели рассмотренного типа, с необходимостью обрезается при некотором значении лоренц-фактора.

[Аурелиано Буэндиа]

Вот ссылки на парадокс близнецов на цилиндре
http://xyz.lanl.gov/PS_cache/gr-qc/pdf/0101/0101014.pdf
http://xyz.lanl.gov/PS_cache/gr-qc/pdf/0503/0503070.pdf

[Котофеич]

А там рассматривается случай когда радиус цилиндра растет с течением
времени

[Lexey]

Котофеич писал(а):

Для того чтобы говорить о реальном физическом замедлении времени, необходимо иметь возможность сравнить показания часов, в момент встречи. В обычном
парадоксе близнецов это условие выполнено по определению. Однако если к моменту
возвращения второго братца в окрестность исходной точки, все часы разрушились под воздействием фантомной энергии, то сравнить показания часов невозможно и соответственно
невозможно говорить о физическом замедлении времени.

А что если второй братец взял с собой армию часовщиков с часами и регулярно отправлял их обратно к первому братцу чтобы поддерживать там время. Каждый сдедующий возвратившийся часовщик синхронизирует свежие часы со старыми, которые скоро распадутся.

[tory]

Я думаю, что дело не в математическом формализме, а в интерпретации, в объяснении.
Не меняя формализма можно найти альтернанивные подходы к объяснению. Например:
См. "К столетнему юбилею СТО"
http://kuligin.mylivepage.ru/file/index/

[гиперон]

а если отбросить теорию относительности?